Determine uma solução em série de potências do problema de valor inicial
y^prime prime-x y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0
e calcule seu raio de convergência.

Passo 1

O problema pede uma solução em série de potências da EDO
y'' - x,y = 0
com as condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=0
O conteúdo é o método de série de potências para EDOs com coeficientes não constantes.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2
Multiplicando por x e realinhando as potências de x, obtemos
x,y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+1 =summ=1^inftyam-1,x^m,
y''(x)=summ=0^infty(m+2)(m+1),am+2,x^m
Substituindo em y''-x y=0 e igualando coeficientes de x^m, teremos a relação entre os am.

Passo 3

Para m=0 vem
2cdot1,a2 - 0 = 0 Longrightarrow a2=0
Para m>=1 a condição é
(m+2)(m+1),am+2 - am-1=0 Longrightarrow am+2=am-1(m+2)(m+1)
As condições iniciais dão a0=y(0)=1 e a1=y'(0)=0.

Passo 4

Usando o recorrente e a0=1, a1=0, a2=0, obtemos
a3=a03cdot2=16, a4=a14cdot3=0, a5=a25cdot4=0,
a6=a36cdot5=1/630=1180, a9=a69cdot8=112960,;dots
Note que só aparecem coeficientes não nulos quando n=3m. Para m>=1
a3m =a3(m-1)(3m)(3m-1) ;, a0=1

Passo 5

A solução em série fica
y(x) =summ=0^inftya3m,x^3m =summ=0^infty x^3m prodk=1^m(3k,(3k-1)) =1+x^36+x^6180+x^912960+cdots

Passo 6

Para o raio de convergência usamos o teste da razão sobre os termos não nulos bm=a3mx^3m:
limmtoinftyl|tfracbm+1bmr| =limmtoinfty|x|^3(3m+3)(3m+2)=0 forall,xinR,
logo o raio de convergência é infinito.

Resposta

y(x)=summ=0^infty x^3m prodk=1^m(3k,(3k-1)) =1+x^36+x^6180+x^912960+cdots,
Raio de convergência R=infty.

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