Determine uma solução em série de potências do problema de valor inicial
e calcule seu raio de convergência.
Passo 1
O problema pede uma solução em série de potências da EDO
com as condições iniciais
O conteúdo é o método de série de potências para EDOs com coeficientes não constantes.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma
Então
Multiplicando por
e realinhando as potências de
, obtemos
Substituindo em
e igualando coeficientes de
, teremos a relação entre os
.
Passo 3
Para
vem
Para
a condição é
As condições iniciais dão
e
.
Passo 4
Usando o recorrente e
,
,
, obtemos
Note que só aparecem coeficientes não nulos quando
. Para
Passo 5
A solução em série fica
Passo 6
Para o raio de convergência usamos o teste da razão sobre os termos não nulos
:
logo o raio de convergência é infinito.
Resposta
Raio de convergência
R=infty .