Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região entre
em torno do eixo
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em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $ é girada em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, especificamente o método dos discos ou anéis, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as duas curvas se intersectam para saber os limites de integração. Igualando $ x^{2} = 2x $:
Então, $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Esses são os pontos de interseção.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo $ y $, é melhor expressar as funções em termos de $ y $. A partir de $ y = x^{2} $, temos $ x = \sqrt{y} $. E de $ y = 2x $, temos $ x = \frac{y}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do volume por rotação em torno do eixo $ y $:
Aqui, $ R(y) $ é a função externa e $ r(y) $ a interna. No nosso caso, $ R(y) = \sqrt{y} $ e $ r(y) = \frac{y}{2} $, e os limites de integração são de $ y = 0 $ a $ y = 4 $ (pois quando $ x = 2 $, $ y = 2 \times 2 = 4 $).
Passo 5
Vamos substituir na fórmula:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Agora, substituímos os limites:
Resposta
O volume do sólido gerado é $ \frac{8\pi}{3} $ unidades cúbicas.