Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região entre
y=x^2 e y=2 x
em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 2x $ é girada em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, especificamente o método dos discos ou anéis, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as duas curvas se intersectam para saber os limites de integração. Igualando $ x^{2} = 2x $:
x^2 = 2x
Então, $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Esses são os pontos de interseção.

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo $ y $, é melhor expressar as funções em termos de $ y $. A partir de $ y = x^{2} $, temos $ x = \sqrt{y} $. E de $ y = 2x $, temos $ x = \frac{y}{2} $.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do volume por rotação em torno do eixo $ y $:
y
Aqui, $ R(y) $ é a função externa e $ r(y) $ a interna. No nosso caso, $ R(y) = \sqrt{y} $ e $ r(y) = \frac{y}{2} $, e os limites de integração são de $ y = 0 $ a $ y = 4 $ (pois quando $ x = 2 $, $ y = 2 \times 2 = 4 $).

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
V = pi integral0^4 ( (raizy)^2 - ( y2 )^2 ) dy V = pi integral0^4 (y - y^24) dy

Passo 6

Integrando termo a termo:
V = pi [ y^22 - y^312 ]0^4
Agora, substituímos os limites:
V = pi ( ( 4^22 - 4^312 ) - ( 0 - 0 ) ) V = pi ( 162 - 6412 ) V = pi ( 8 - 163 ) V = pi ( 243 - 163 ) V = pi ( 83 ) V = 8pi3

Resposta

O volume do sólido gerado é $ \frac{8\pi}{3} $ unidades cúbicas.

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