O enunciado pede o esboço do gráfico de g(x)=|2x+x²|. O conteúdo aqui é valor absoluto aplicado a uma função quadrática, então vamos precisar estudar os zeros e o sinal de 2x+x² para montar a definição por partes e depois desenhar cada trecho.
Passo 2
Primeiro, achamos onde 2x+x²=0. Fatorando, temos:
2x+x² = x(x+2) = 0 ²
Logo, as raízes são x=0 e x=-2. Também podemos completar o quadrado:
x²+2x = (x+1)² - 1 ²²
Isso mostra que a parábola sem módulo atinge valor mínimo -1 em x=-1.
Passo 3
Agora estudamos o sinal de x²+2x nos intervalos definidos pelas raízes:
Para x<-2, escolhemos x=-3: x²+2x=9-6=3>0.
Para -2<x<0, escolhemos x=-1: x²+2x=1-2=-1<0.
Para x>0, escolhemos x=1: x²+2x=1+2=3>0.
Então a expressão dentro do módulo é negativa só em (-2,0).
Passo 4
Com base nisso, escrevemos g(x) como função por partes:
Isso significa que para x≤-2 e x≥0 o gráfico é a parábola original voltada para cima, e em -2<x<0 ela é “refletida” para cima.
Passo 5
Agora é só esboçar cada trecho:
Para x≤-2: parábola com concavidade para cima passando por (-2,0).
Em -2≤x≤0: parábola invertida (concavidade para baixo antes da reflexão) mas como tiramos o sinal fica voltada para cima, passando novamente por (-2,0) e (0,0), com vértice em (-1,1).
Para x≥0: mesmo trecho da parábola original que cresce para cima.
O gráfico final é contínuo, tem “v” suave nos pontos de junção x=-2 e x=0, e um pico (vértice) em (-1,1).
Resposta
O gráfico é dado por
g(x)= x²+2x, & x<= -2, -x²-2x, & -2=0, ²²²
com zeros em x=-2 e x=0 e vértice do trecho interno em (-1,1).