Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Em cada um dos problemas abaixo, determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação e escreva a série explicitando os seus 6 primeiros termos:
(1-x) y^prime prime+x y^prime-y=0, y(0)=-3, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série de potências
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n
para a equação
(1-x)y''+x y'-y=0,
com condições iniciais ,y(0)=-3 e y'(0)=2.
Vamos substituir a série na EDO, obter uma relação de recorrência para an e calcular os coeficientes iniciais.

Passo 2

Calculamos as derivadas da série:
y'(x)=sumn=0^inftyan+1n!x^n,
y''(x)=sumn=0^inftyan+2n!x^n

Passo 3

Substituindo em (1-x)y''+x y'-y=0 e coletando coeficientes de x^n, obtemos para n>=0:
an+2n! -an+1(n-1)! +an(n-1)! -ann! =0
Multiplicando por n! resulta
an+2-n,an+1+n,an-an=0

Passo 4

Reescrevendo a relação, fica
an+2 = n,an+1 ;+;(1-n),an, n>=0

Passo 5

Pelas condições iniciais temos
a0=y(0)=-3, a1=y'(0)=2.
Usando a recorrência:
a2=0cdot a1+(1-0)a0=-3,
a3=1cdot a2+(1-1)a1=-3,
a4=2cdot a3+(1-2)a2=-6+3=-3,
a5=3cdot a4+(1-3)a3=-9+6=-3,
a6=4cdot a5+(1-4)a4=-12+9=-3,
e assim an=-3 para todo n>=2.

Passo 6

Logo os seis primeiros termos da série são
y(x) =a00!x^0 +a11!x^1 +a22!x^2 +a33!x^3 +a44!x^4 +a55!x^5 +cdots
y(x) =-3 +2x -32x^2 -36x^3 -324x^4 -3120x^5 +cdots

Resposta

Relação de recorrência:
an+2 = n,an+1+(1-n),an, n>=0
Seis primeiros termos:
y(x) =-3+2x-tfrac32x^2-tfrac36x^3-tfrac324x^4-tfrac3120x^5+cdots

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