Seja
uma série de potências. Em cada um dos problemas abaixo, determine a relação de recorrência que
deve satisfazer para que
seja uma solução da equação e escreva a série explicitando os seus 6 primeiros termos:
Passo 1
O enunciado pede uma solução em série de potências
para a equação
para a equação
com condições iniciais
e
.
Vamos substituir a série na EDO, obter uma relação de recorrência para e calcular os coeficientes iniciais.
Vamos substituir a série na EDO, obter uma relação de recorrência para
Passo 2
Calculamos as derivadas da série:
Passo 3
Substituindo em
e coletando coeficientes de
, obtemos para
:
Multiplicando por
resulta
Passo 4
Reescrevendo a relação, fica
Passo 5
Pelas condições iniciais temos
.
Usando a recorrência:
Usando a recorrência:
e assim
para todo
.
Passo 6
Logo os seis primeiros termos da série são
Resposta
Relação de recorrência:
Seis primeiros termos: