Determine a solução do sistema
c x-y-z=0 2 x-2 y+6 z=0 4 x-12 y-16 z=0 3 x-11 y-15 z=0 -x+y-7 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução de um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre resolução de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos como substituição e eliminação para achar os valores de , e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a primeira equação do sistema:
x - y - z = 0
Essa equação pode ser rearranjada para expressar x = y + z em termos de e :
Isso nos dá uma relação direta entre , e , que vamos usar nos próximos passos.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação:
2x - 2y + 6z = 0
Substituindo 2(y + z) - 2y + 6z = 0 pela expressão que encontramos no passo anterior ( 2y + 2z - 2y + 6z = 0 ), temos:
8z = 0
Distribuindo o 2:
z = 0
Simplificando:
Então, dividindo ambos os lados por 8:
Agora já sabemos que vale 0.

Passo 4

Com x = y + z = y + 0 = y , podemos voltar à expressão que encontramos para :
Então, . Agora sabemos que e são iguais.

Passo 5

Vamos usar a quinta equação do sistema para encontrar o valor de -x + y - 7z = 0 :
-y + y - 0 = 0
Sabemos que 0 = 0 e , então substituindo:
Simplificando:
Essa equação não nos dá nenhuma informação nova, apenas confirma que nossa relação anterior está correta.

Passo 6

Vamos agora para a terceira equação:
4x - 12y - 16z = 0
Substituindo 4y - 12y - 0 = 0 e -8y = 0 :
y = 0
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por -8:
Agora sabemos que .

Passo 7

Com x = 0 , e lembrando que , temos:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = 0, z = 0

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