Escreva E como combinação linear, se possível de A=(cc1 & 1 0 & -1), B=(cc1 & 1 -1 & 0), C=(cc1 & -1 0 & 0), onde
E=(rr3 & -1 1 & -2)
Que conjunto de M2(R) pode ser escrito como combinação linear de A, B e C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a matriz E = xA + yB + zC como uma combinação linear das matrizes , e . Isso significa encontrar números reais , e tais que:
Para fazer isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são combinação linear. Uma combinação linear de matrizes é simplesmente uma soma das matrizes multiplicadas por coeficientes escalares (números reais, no caso). Ou seja, queremos encontrar , e que satisfaçam a equação acima.

Passo 3

Vamos começar substituindo as matrizes dadas na equação:
(rr 3 & -1 1 & -2 ) = x (cc 1 & 1 0 & -1 ) + y (cc 1 & 1 -1 & 0 ) + z (cc 1 & -1 0 & 0 )

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes:
xA = x (cc 1 & 1 0 & -1 ) = (cc x & x 0 & -x )
yB = y (cc 1 & 1 -1 & 0 ) = (cc y & y - y & 0 )
zC = z (cc 1 & -1 0 & 0 ) = (cc z & -z 0 & 0 )

Passo 5

Agora, somamos as três matrizes resultantes:
xA + yB + zC = (cc x + y + z & x + y - z - y & -x )

Passo 6

Igualamos essa soma à matriz (cc x + y + z & x + y - z - y & -x ) = (cc 3 & -1 1 & -2 ) :
x + y + z = 3 x + y - z = -1 - y = 1 - x = -2
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Da quarta equação:
  3. Substituindo e na primeira equação:

Passo 8

Vamos checar com a segunda equação para garantir que está tudo certo:
x + y - z = 2 + (-1) - 2 = -1
Está igual ao lado direito, então as soluções estão corretas!

Resposta

A matriz E = 2A - B + 2C pode ser escrita como combinação linear das matrizes , e da seguinte forma:

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