Escreva como combinação linear, se possível de , , onde
Que conjunto de pode ser escrito como combinação linear de e ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a matriz como uma combinação linear das matrizes , e . Isso significa encontrar números reais , e tais que:
Para fazer isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são combinação linear. Uma combinação linear de matrizes é simplesmente uma soma das matrizes multiplicadas por coeficientes escalares (números reais, no caso). Ou seja, queremos encontrar , e que satisfaçam a equação acima.
Passo 3
Vamos começar substituindo as matrizes dadas na equação:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes:
Passo 5
Agora, somamos as três matrizes resultantes:
Passo 6
Igualamos essa soma à matriz :
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Da quarta equação:
Substituindo e na primeira equação:
Passo 8
Vamos checar com a segunda equação para garantir que está tudo certo:
x + y - z = 2 + (-1) - 2 = -1
Está igual ao lado direito, então as soluções estão corretas!
Resposta
A matriz E = 2A - B + 2C pode ser escrita como combinação linear das matrizes , e da seguinte forma: