Determine a solução das transformadas apresentadas abaixo.
\mathcal{L}\left\{t e^{-3 t} \cos (3 t)\right\}=

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função \;t e^{-3t}\cos(3t).\n
Informações dadas:
\;f(t)=t e^{-3t}\cos(3t).\n
Objetivo: calcular \displaystyle \mathcal{L}\{t e^{-3t}\cos(3t)\} e apresentar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vou apresentar as propriedades da transformada de Laplace que vou usar — explicando por que valem — pois isso é essencial para fazer a conta passo a passo sem pular etapas.\n
Definição (trem pelo básico): \displaystyle \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} g(t)\,dt.\n
Propriedade 1 (multiplicação por t): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s) então
\mathcal{L}\{t\,g(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}G(s).
Por quê? Diferenciamos G(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt em relação a s. Como a derivada entra apenas em e^{-st}, temos
\frac{d}{ds}G(s)=\int_{0}^{\infty}\frac{d}{ds}\big(e^{-st}\big) g(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}g(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t g(t)\}(s).
Isso justifica a propriedade.\n
Propriedade 2 (deslocamento na variável s): se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s) então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
Por quê? Substitui-se diretamente na integral:
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} g(t)\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt=G(s-a).
No nosso caso temos a=-3 (porque e^{-3t}=e^{(-3)t}), então vamos aplicar essa propriedade com cuidado: multiplicar por e^{-3t} corresponde a substituir s por s+3 em G(s).\n
Também usarei a transformada conhecida de \cos(\omega t):
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Isso é uma transformada padrão (pode ser obtida integrando por partes ou consultando tabela).

Passo 3

Começo calculando a transformada de \cos(3t), que é a peça básica:
\mathcal{L}\{\cos(3t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+3^{2}}=\frac{s}{s^{2}+9}.
Vou chamar essa função de G(s):
G(s)=\frac{s}{s^{2}+9}.

Passo 4

Agora aplico a propriedade da multiplicação por t: \mathcal{L}\{t\cos(3t)\}(s)=-\dfrac{d}{ds}G(s). Vou calcular a derivada passo a passo.\n
Escrevendo G(s)=\dfrac{s}{s^{2}+9}. Uso a regra do quociente (ou produto): G(s)=s\,(s^{2}+9)^{-1}. Derivando,
G'(s)=\frac{d}{ds}\left(s\right)\cdot (s^{2}+9)^{-1} + s\cdot\frac{d}{ds}\big((s^{2}+9)^{-1}\big).
Calculando cada termo:
\frac{d}{ds}\left(s\right)=1, \qquad \frac{d}{ds}\big((s^{2}+9)^{-1}\big)=-1\cdot (s^{2}+9)^{-2}\cdot 2s = -\frac{2s}{(s^{2}+9)^{2}}.
Portanto
G'(s)=\frac{1}{s^{2}+9} + s\left(-\frac{2s}{(s^{2}+9)^{2}}\right) =\frac{1}{s^{2}+9}-\frac{2s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}}.
Colocando num denominador comum (s^{2}+9)^{2}:
G'(s)=\frac{(s^{2}+9)-2s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}}=\frac{9-s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}}.
Usando \mathcal{L}\{t\cos(3t)\}(s)=-G'(s) obtemos
\mathcal{L}\{t\cos(3t)\}(s) = -\frac{9-s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}} = \frac{s^{2}-9}{(s^{2}+9)^{2}}.

Passo 5

Finalmente, aplico o deslocamento para incluir o fator e^{-3t}. Como explicado, multiplicar por e^{-3t} equivale a substituir s por s+3 na transformada de t\cos(3t). Assim
\mathcal{L}\{t e^{-3t}\cos(3t)\}(s) = \left.\frac{s^{2}-9}{(s^{2}+9)^{2}}\right|_{s\mapsto s+3} = \frac{(s+3)^{2}-9}{\big((s+3)^{2}+9\big)^{2}}.
Faço uma simplificação algébrica do numerador e do termo dentro do quadrado no denominador:\n
Numerador:
(s+3)^{2}-9 = (s^{2}+6s+9)-9 = s^{2}+6s.
Denominador (parte interna):
(s+3)^{2}+9 = s^{2}+6s+9+9 = s^{2}+6s+18.
Portanto a expressão simplificada é
\mathcal{L}\{t e^{-3t}\cos(3t)\}(s) = \frac{s^{2}+6s}{\big(s^{2}+6s+18\big)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{s^{2}+6s}{\big(s^{2}+6s+18\big)^{2}}

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