Determine a solução das transformadas apresentadas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função
.\n
Informações dadas:
.\n
Objetivo: calcular e apresentar o resultado final.
Informações dadas:
Objetivo: calcular
Passo 2
Primeiro, vou apresentar as propriedades da transformada de Laplace que vou usar — explicando por que valem — pois isso é essencial para fazer a conta passo a passo sem pular etapas.\n
Definição (trem pelo básico): \n
Propriedade 1 (multiplicação por ): se
então
Definição (trem pelo básico):
Propriedade 1 (multiplicação por
Por quê? Diferenciamos
em relação a
. Como a derivada entra apenas em
, temos
Isso justifica a propriedade.\n
Propriedade 2 (deslocamento na variável ): se
então, para qualquer constante
,
Propriedade 2 (deslocamento na variável
Por quê? Substitui-se diretamente na integral:
No nosso caso temos
(porque
), então vamos aplicar essa propriedade com cuidado: multiplicar por
corresponde a substituir
por
em
.\n
Também usarei a transformada conhecida de :
Também usarei a transformada conhecida de
Isso é uma transformada padrão (pode ser obtida integrando por partes ou consultando tabela).
Passo 3
Começo calculando a transformada de
, que é a peça básica:
Vou chamar essa função de
:
Passo 4
Agora aplico a propriedade da multiplicação por
:
. Vou calcular a derivada passo a passo.\n
Escrevendo . Uso a regra do quociente (ou produto):
. Derivando,
Escrevendo
Calculando cada termo:
Portanto
Colocando num denominador comum
:
Usando
obtemos
Passo 5
Finalmente, aplico o deslocamento para incluir o fator
. Como explicado, multiplicar por
equivale a substituir
por
na transformada de
. Assim
Faço uma simplificação algébrica do numerador e do termo dentro do quadrado no denominador:\n
Numerador:
Numerador:
Denominador (parte interna):
Portanto a expressão simplificada é