Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} para as funções abaixo: f(t)=\left\{\begin{array}{cc}2 t+1 & , 0 \leq t<1 \\\\ 0 & , t \geq 1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para determinar \mathcal{L}\{f(t)\}\) onde a função é dada por
\[f(t)=\begin{cases} 2t+1, & 0\le t<1,\\[4pt] 0, & t\ge 1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: \,f(t)\] é uma função por partes — é \((2t+1) no intervalo [0,1) e zero a partir de t=1. A tarefa é calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}.]
Passo 2
Vou recordar conceitos e entradas da tabela que vamos usar (isso é parte do “usar a tabela” e entender o que fazemos).
Definição da transformada de Laplace:
Também vamos usar a função degrau (Heaviside) u(t-a) e o Teorema do deslocamento (segunda propriedade de deslocamento):
seja G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}(s)=e^{-as}G(s).
Aqui a é o instante de deslocamento e g(t) é a função “deslocada”.
Passo 3
Reescrever f(t) de modo a usar o degrau. Note que
f(t)=(2t+1)\bigl[1-u(t-1)\bigr].
Isto é, f é a função 2t+1 “cortada” a partir de t=1. Vamos então tratar (2t+1)u(t-1) para aplicar o teorema de deslocamento. Escrevemos
(2t+1)u(t-1)=u(t-1)\bigl[2(t-1)+3\bigr],
pois 2(t-1)+3=2t+1. Assim temos a fatoração na forma u(t-a)\,g(t-a) com a=1 e g(\tau)=2\tau+3 (aqui trocamos o argumento por \tau para clareza).
Passo 4
Calcular \mathcal{L}\{2t+1\} usando a tabela e linearidade: