Determine a solução.
9. x y^3+y^2 cos x-12 x^2=c

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial exata cujo formulário final é dado por
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=y^3 - y^2sin x - x, N(x,y)=3x y^2 + 2ycos x
O objetivo é encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M e partial Phipartial y=N,
pois daí a solução geral fica Phi(x,y)=C.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata, ou seja, se
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y =3y^2 -2ysin x, partial Npartial x =3y^2 -2ysin x
Como são iguais, a equação é de fato exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x para obter Phi(x,y) até uma “constante” que pode depender de y:
Phi(x,y) =integrall(y^3 - y^2sin x - xr),dx = x,y^3 + y^2cos x - x^22 + h(y)

Passo 4

Agora impomos
partial Phipartial y =3x y^2 + 2ycos x + h'(y) = N(x,y)=3x y^2 + 2ycos x
Daí obtemos h'(y)=0, logo h(y) é constante que absorvemos em C.

Resposta

x,y^3 ;+; y^2cos x ;-;tfrac12,x^2 ;=; C,
que é a solução geral implícita da equação diferencial.

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