Exercício 2.6.1 Determine os pontos de descontinuidade de cada uma das funções abaixo e faça um esboço do gráfico da mesma. Ainda, determine se estes pontos de descontinuidades são Removível ou Essencial. Nos casos onde a descontinuidade Removível redefina a função de forma que ela passe a ser contínua no ponto. ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida de forma diferente quando t é igual a -2 e quando é diferente. O nosso objetivo aqui é encontrar onde essa função não é contínua (os pontos de descontinuidade), entender que tipo de descontinuidade é (removível ou essencial) e, se for removível, ajustar a função para que ela fique contínua. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade, limites e como comparar o valor da função com o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
f(t) = |t + 2|, & se t neq -2 3, & se t = -2
Queremos ver se há algum ponto onde a função não é contínua. Olhando para a definição, o único ponto suspeito é t = -2 , porque é onde a definição da função muda.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em t = -2 . Para a função ser contínua nesse ponto, três coisas precisam acontecer:
A função precisa estar definida em t = -2 . Aqui, está definida como 3.
O limite da função quando t se aproxima de -2 existe.
O limite da função quando t se aproxima de -2 é igual ao valor da função em t = -2 .
Vamos calcular o limite quando t se aproxima de -2.
Passo 4
Calculando o limite de f(t) quando t se aproxima de -2:
limt to -2 |t + 2|
Substituindo t = -2 :
| -2 + 2 | = |0| = 0
Então, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos comparar o limite com o valor da função em t = -2 :
limt to -2 f(t) = 0 e f(-2) = 3
Como 0 não é igual a 3, a função não é contínua em t = -2 . Isso significa que há uma descontinuidade nesse ponto.
Passo 6
Vamos classificar a descontinuidade. Se o limite existe, mas é diferente do valor da função, temos uma descontinuidade removível. Se o limite não existe ou é infinito, é uma descontinuidade essencial.
No nosso caso, o limite existe e é 0, mas f(-2) = 3 . Então, é uma descontinuidade removível.
Passo 7
Como é uma descontinuidade removível, podemos redefinir a função em t = -2 para que ela seja contínua. Para isso, vamos fazer f(-2) ser igual ao limite, ou seja, 0.
Então, a função redefinida fica:
f(t) = |t + 2|, & se t neq -2 0, & se t = -2
Resposta
A função f(t) tem uma descontinuidade em t = -2 , que é removível. Redefinindo f(-2) = 0 , a função fica contínua nesse ponto.