Resolva y^prime prime-4 y^prime+13 y=0 satisfazendo y(pi / 2)=1, y^prime(pi / 2)=0

Passo 1

Temos a EDO homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 13y = 0,
sujeita às condições iniciais y(tfracpi2)=1 e y'(tfracpi2)=0. O conteúdo é solução de EDOs por equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 - 4r + 13 = 0
O discriminante é De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot13 = 16 - 52 = -36, logo as raízes são
r = 4 pm raiz-362 = 2 pm 3,i

Passo 3

Como as raízes são complexas 2pm3i, a solução geral é
y(x) = e^2xl(Acos(3x) + Bsin(3x)r),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Derivando, obtemos
y'(x) = e^2xl(2,(Acos3x + Bsin3x) + (-3Asin3x + 3Bcos3x)r) = e^2xl((2A+3B)cos3x + (2B-3A)sin3xr)

Passo 5

Impondo as condições em x=tfracpi2, substituímos em y e y' e igualamos a 1 e 0:
y(tfracpi2)=e^pil(Acostfrac3pi2+Bsintfrac3pi2r) =-e^piB = 1, y'(tfracpi2)=e^pil((2A+3B)costfrac3pi2+(2B-3A)sintfrac3pi2r) =e^pi(3A-2B)=0
Da primeira equação vem
B = -e^-pi,
e da segunda
3A - 2B = 0 Longrightarrow A = tfrac23,B = -tfrac23e^-pi

Passo 6

Substituindo A e B em
y(x)=e^2xl(Acos3x+Bsin3xr), achamos
y(x) = e^2xl(-tfrac23e^-picos3x ;-; e^-pisin3xr) = e^2x-pil(-tfrac23cos3x - sin3xr)

Resposta

boxedy(x)=e^2x-pil(-tfrac23cos(3x)-sin(3x)r)

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