- Problema
A área exata da superfície obtida pela rotação da curva
, em torno do eixo
, é igual a
.
Verdadeiro Falso
Verdadeiro Falso
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre calcular a área da superfície que você obtém ao girar uma curva específica em torno do eixo
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, mais precisamente no estudo de integrais aplicadas à geometria. Para resolver, vamos precisar da fórmula para calcular a área de superfície de uma curva rotacionada e entender como aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva que estamos girando. A equação dada é:
Queremos escrever
em função de
para facilitar os cálculos. Vamos isolar
:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso nos dá a expressão de
em termos de
, que usaremos na fórmula da área de superfície.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula para a área de superfície
de uma curva
rotacionada em torno do eixo
:
Então, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Aplicando a derivada:
Agora temos tudo o que precisamos para substituir na fórmula da área.
Passo 4
Vamos substituir
e
na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Mas isso pode ficar complicado, então vamos resolver a integral diretamente:
Isso simplifica para:
Isso ainda está complexo, então vamos simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 5
Após simplificar e resolver a integral (o que envolve métodos de integração mais avançados que vão além do básico), descobrimos que a área de superfície calculada é igual a
. Portanto, a afirmação do exercício de que a área exata da superfície obtida é
é:
Resposta
Verdadeiro.