Determine a solução de y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0 \mathrm{com} y(0)=1 e y^{\prime}(0)=3 😃

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' + y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=3. O conteúdo aqui é o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + r + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo-a, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}.
Como as raízes são complexas conjugadas, r_{1,2} = -\tfrac12 \pm i\,\tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 4

A solução geral real é dada por
y(x) = e^{-x/2}\bigl(C_1\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}x) + C_2\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}x)\bigr),
em que C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Usando y(0)=1, obtemos
y(0) = e^0\bigl(C_1\cos0 + C_2\sin0\bigr) = C_1 = 1.

Passo 6

Calculamos y'(x) e aplicamos y'(0)=3. Ao derivar por produto e avaliar em x=0, fica
y'(0) = -\tfrac12\,C_1 + \tfrac{\sqrt3}{2}\,C_2 = -\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}C_2 = 3.
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\tfrac{\sqrt3}{2}\,C_2 = 3 + \tfrac12 = \tfrac72 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{\tfrac72}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \frac{7}{\sqrt3}.

Resposta

y(x) = e^{-x/2}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr) + \tfrac{7}{\sqrt3}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr).

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