Todas as solugóes de y^{\prime}=y-x^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede encontrar todas as soluções da equação diferencial
y' = y - x^2
Este é um caso de equação linear de primeira ordem. Para resolver vamos colocá-la na forma padrão, usar fator integrante e depois integrar.

Passo 2

Escrevemos em forma padrão
y' - y = -\,x^2.
Aqui P(x) = -1 e Q(x) = -x^2. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.

Passo 3

Multiplicando toda a equação por \mu(x), obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = -\,x^2e^{-x},
ou seja, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = -\,x^2e^{-x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
e^{-x}y = \int -\,x^2e^{-x}\,dx.
Para calcular \displaystyle \int -\,x^2e^{-x}\,dx
podemos usar integração por partes ou recorrer à fórmula conhecida
\int x^2e^{-x}\,dx = -\,e^{-x}(x^2+2x+2) + C.
Logo
\int -\,x^2e^{-x}\,dx = e^{-x}(x^2+2x+2) + C.
Assim
e^{-x}y = e^{-x}(x^2+2x+2) + C.

Passo 5

Multiplicando por e^{x} para isolar y, vem
y = x^2 + 2x + 2 + C\,e^{x},
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A família geral das soluções é
\boxed{y(x) = x^2 + 2x + 2 + C\,e^{x},\quad C\in\mathbb{R}.}

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