Lincarize a equaçio de Bernotilli y^{\prime}=y-\frac{x^{2}}{y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli
y' = y - \frac{x^{2}}{y^{2}}
e pede que a transformemos numa equação linear. O método consiste em reconhecer a forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
e usar a substituição u = y^{1 - n} para obter uma equação linear em u.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
y' - y = -\,x^{2}\,y^{-2}.
Aqui identificamos
P(x) = -1,\quad Q(x) = -x^{2},\quad n = -2.

Passo 3

Calculamos a potência para a substituição:
1 - n = 1 - (-2) = 3,
e fazemos
u = y^{3}.

Passo 4

Derivando u em relação a x vem
u' = 3\,y^{2}\,y'.
Multiplicamos a equação original por y^{2}:
y^{2}\,y' - y^{3} = -\,x^{2}.
Como y^{3}=u e y^{2}\,y'=\tfrac{u'}{3}, substituímos:
\frac{u'}{3} - u = -\,x^{2}.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por 3 para ficar na forma padrão:
u' - 3\,u = -\,3\,x^{2}.
Essa é a equação linear em u.

Resposta

A substituição u=y^{3} transforma
y' = y - \frac{x^{2}}{y^{2}}
na equação linear
u' - 3\,u = -3\,x^{2}.

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