Determine a soluçho das equações exatas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você enviou. A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais exatas, que são equações onde a equação pode ser escrita na forma
e existe uma função potencial
tal que
. Para resolver, vamos precisar identificar as funções
e
, verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função
que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de forma a identificar
e
. A equação original é:
Podemos reorganizar para:
Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Calculando:
Como
, a equação é realmente exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, encontramos
comparando com a derivada parcial de
em relação a
:
Mas sabemos que:
Igualando:
Então:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, juntamos tudo para obter a função potencial
:
Essa é a solução geral da equação diferencial exata dada.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.