Determine a soluçho das equações exatas:
2 x y^2+cos x+(2 x^2 y+1y) d yd x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você enviou. A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais exatas, que são equações onde a equação pode ser escrita na forma M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 e existe uma função potencial F(x, y) tal que dF = 0. Para resolver, vamos precisar identificar as funções M e N, verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função F(x, y) que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de forma a identificar M e N. A equação original é:
2 x y^2 + cos x + (2 x^2 y + 1y) d yd x = 0
Podemos reorganizar para:
(2 x y^2 + cos x) , dx + (2 x^2 y + 1y) , dy = 0
Assim, temos:
M(x, y) = 2 x y^2 + cos x
N(x, y) = 2 x^2 y + 1y

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos ver se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x. Calculando:
partial Mpartial y = 4 x y
partial Npartial x = 4 x y
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é realmente exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y) = 2 x y^2 + cos x
Vamos integrar M em relação a x para encontrar F(x, y):
F(x, y) = integral (2 x y^2 + cos x) , dx = x^2 y^2 + sin x + phi(y)
Aqui, phi(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 5

Agora, encontramos phi(y) comparando com a derivada parcial de F em relação a y:
partial Fpartial y = 2 x^2 y + phi'(y)
Mas sabemos que:
partial Fpartial y = N(x, y) = 2 x^2 y + 1y
Igualando:
2 x^2 y + phi'(y) = 2 x^2 y + 1y
Então:
phi'(y) = 1y
Integrando phi'(y) em relação a y:
phi(y) = ln |y| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos tudo para obter a função potencial F(x, y):
F(x, y) = x^2 y^2 + sin x + ln |y| = C
Essa é a solução geral da equação diferencial exata dada.

Resposta

A solução geral da equação é x^2 y^2 + sin x + ln |y| = C, onde C é uma constante.

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