Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! O que a gente tem aqui é uma função periódica [f(x)) definida no intervalo de forma diferente em cada subintervalo:
E essa função se repete a cada 2 unidades, ou seja, , e .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a série de Fourier para uma função periódica com período 2L é dada por:
Essas integrais envolvem produtos de polinômios com cossenos, que podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais. No entanto, devido à simetria da função f(x) em relação a x = 0 , podemos observar que os coeficientes an serão nulos. Isso porque a parte ímpar da função multiplicada por uma função par (cosseno) resulta em uma função ímpar, cuja integral em um intervalo simétrico é zero.
Portanto:
an = 0 para todo n >= 1
Passo 5
Vamos calcular agora os coeficientes bn . Eles são dados por:
Essas integrais também podem ser resolvidas por partes. Ao resolver, notamos que somente os termos ímpares contribuem, devido à simetria da função f(x) .
Após realizar os cálculos, encontramos que:
bn = 4npi para todo n ímpar í
E para n par, bn = 0 .
Resposta
Então, a série de Fourier da função f(x) é:
F(f)(x) = 12 + sumsubstackn=1 n ímpar^infty ( 0 cdot cos(npi x) + 4npi sin(npi x) ) í