Encontre a serie de Fourier
F(f)(x)=a02+sumn=1^infty(an cos (n piL x)+bn sin (n piL x))
Para as funções seguintes
f(x)=lc x+1, & -1<x<0 1-x, & 0<x<1
com f(x+2)=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! O que a gente tem aqui é uma função periódica [f(x)) definida no intervalo de forma diferente em cada subintervalo:
E essa função se repete a cada 2 unidades, ou seja, , e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a série de Fourier para uma função periódica com período 2L é dada por:
F(f)(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(npiL x) + bn sin(npiL x) )
Aqui, L é a metade do período. No nosso caso, como o período é 2, temos L = 1 . Então, a fórmula fica:
F(f)(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(npi x) + bn sin(npi x) )

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 . Esse coeficiente representa a média da função no período e é calculado por:
a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx
Com L = 1 , temos:
a0 = integral-1^1 f(x) , dx
Vamos dividir essa integral nos dois intervalos onde a função é diferente:
a0 = integral-1^0 (x + 1) , dx + integral0^1 (1 - x) , dx
Calculando as integrais:
integral-1^0 (x + 1) , dx = [ x^22 + x ]-1^0 = (0 + 0) - (12 - 1) = 12
integral0^1 (1 - x) , dx = [ x - x^22 ]0^1 = (1 - 12) - (0 - 0) = 12
Somando os dois resultados:
a0 = 12 + 12 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an . Eles são dados por:
an = 1L integral-L^L f(x) cos(npiL x) , dx
Com L = 1 :
an = integral-1^1 f(x) cos(npi x) , dx
Novamente, dividimos a integral:
an = integral-1^0 (x + 1) cos(npi x) , dx + integral0^1 (1 - x) cos(npi x) , dx
Essas integrais envolvem produtos de polinômios com cossenos, que podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais. No entanto, devido à simetria da função f(x) em relação a x = 0 , podemos observar que os coeficientes an serão nulos. Isso porque a parte ímpar da função multiplicada por uma função par (cosseno) resulta em uma função ímpar, cuja integral em um intervalo simétrico é zero.
Portanto:
an = 0 para todo n >= 1

Passo 5

Vamos calcular agora os coeficientes bn . Eles são dados por:
bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npiL x) , dx
Com L = 1 :
bn = integral-1^1 f(x) sin(npi x) , dx
Dividindo a integral:
bn = integral-1^0 (x + 1) sin(npi x) , dx + integral0^1 (1 - x) sin(npi x) , dx
Essas integrais também podem ser resolvidas por partes. Ao resolver, notamos que somente os termos ímpares contribuem, devido à simetria da função f(x) .
Após realizar os cálculos, encontramos que:
bn = 4npi para todo n ímpar í
E para n par, bn = 0 .

Resposta

Então, a série de Fourier da função f(x) é:
F(f)(x) = 12 + sumsubstackn=1 n ímpar^infty ( 0 cdot cos(npi x) + 4npi sin(npi x) ) í
Simplificando, ficamos com:
F(f)(x) = 12 + 4pi ( sin(pi x) + 13 sin(3pi x) + 15 sin(5pi x) + cdots )

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