Encontre a serie de Fourier
F(f)(x)=a02+sumn=1^infty(an cos (n piL x)+bn sin (n piL x))
Para as funções seguintes
f(x)=lc 0, & -2<x<-1 x, & -1<x<1 0, & 1<x<2
com f(x+4)=f(x).

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período
com (f(x+4)=f(x)]. Vamos usar a forma

onde

Passo 2

Calcular a0. Como f(x)=x só em [-1,1] e zero fora,
a0 =12integral-1^1x,dx =12l[tfracx^22r]-1^1 =12l(tfrac12-tfrac12r) =0

Passo 3

Calcular an. Em [-2,2] só há contribuição em [-1,1], onde f(x)=x. Então
an =12integral-1^1xcosl(tfracnpi x2r),dx
O integrando é produto de função ímpar ( x) por função par ( cos), ou seja, ímpar. Em intervalo simétrico, integral é zero. Logo
an=0forall n>=1

Passo 4

Calcular bn. De novo só [-1,1] contribui:
bn =12integral-1^1xsinl(tfracnpi x2r),dx
Aqui o integrando é par, então
bn =integral0^1xsinl(tfracnpi x2r),dx
Use a primitivação por partes ou fórmula conhecida:
integral xsin(ax),dx =-xcos(ax)a+sin(ax)a^2
Com a=tfracnpi2 temos 1/a=2/(npi) e 1/a^2=4/(n^2pi^2). Avaliando de 0 a 1,
bn =-2npicosl(tfracnpi2r) +4n^2pi^2sinl(tfracnpi2r)

Passo 5

Simplificamos conforme n par ou ímpar:
  1. Se n=2k é par, então sin(npi/2)=0 e cos(npi/2)=(-1)^k. Logo
b2k =-22kpi(-1)^k =(-1)^k+1kpi
  1. Se n=2k-1 é ímpar, então cos(npi/2)=0 e sin(npi/2)=(-1)^,k-1. Logo
b2k-1 =4(2k-1)^2pi^2,(-1)^,k-1
Assim a série fica apenas com termos de seno, a0=0 e an=0.

Resposta

f(x) =sumk=1^infty4(-1)^,k-1(2k-1)^2pi^2 sin!l(tfrac(2k-1)pi x2r) +sumk=1^infty(-1)^,k+1kpi sin(kpi x)

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