Encontre a serie de Fourier
Para as funções seguintes
com f(x+4)=f(x) .
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período
com (f(x+4)=f(x)]. Vamos usar a forma
onde
onde
Passo 2
Calcular
a0 . Como
f(x)=x só em
[-1,1] e zero fora,
Passo 3
Calcular
an . Em
[-2,2] só há contribuição em
[-1,1] , onde
f(x)=x . Então
O integrando é produto de função ímpar (
x ) por função par (
cos ), ou seja, ímpar. Em intervalo simétrico, integral é zero. Logo
Passo 4
Calcular
bn . De novo só
[-1,1] contribui:
Aqui o integrando é par, então
Use a primitivação por partes ou fórmula conhecida:
Com
a=tfracnpi2 temos
1/a=2/(npi) e
1/a^2=4/(n^2pi^2) . Avaliando de
0 a
1 ,
Passo 5
Simplificamos conforme
n par ou ímpar:
- Se
é par, entãon=2k esin(npi/2)=0 . Logocos(npi/2)=(-1)^k
- Se
é ímpar, entãon=2k-1 ecos(npi/2)=0 . Logosin(npi/2)=(-1)^,k-1
Assim a série fica apenas com termos de seno,
a0=0 e
an=0 .