Encontre o polinômio de Taylor T6(f)(x) de grau 6, centrado no ponto indicado, para as funções seguintes
f(x)=cos (x), x0=pi2,

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 6 de f(x)=cos(x) em torno de x0=tfracpi2. Vamos usar a fórmula geral
Tn(f)(x)=sumk=0^nf^(k)(x0)k!,(x-x0)^k,
portanto precisamos calcular as derivadas de ordem até 6 e avaliá-las em x0.

Passo 2

Derivadas de f e seus valores em x0=tfracpi2:
f(x)&=cos x, & fl(tfracpi2r)&=0, f'(x)&=-sin x, & f'l(tfracpi2r)&=-1, f''(x)&=-cos x, & f''l(tfracpi2r)&=0, f^(3)(x)&=sin x, & f^(3)l(tfracpi2r)&=1, f^(4)(x)&=cos x, & f^(4)l(tfracpi2r)&=0, f^(5)(x)&=-sin x, & f^(5)l(tfracpi2r)&=-1, f^(6)(x)&=-cos x, & f^(6)l(tfracpi2r)&=0

Passo 3

Substituindo apenas os termos não nulos na fórmula de Taylor até k=6:
T6(f)(x) =f'(x0)1!(x-x0) +f^(3)(x0)3!(x-x0)^3 +f^(5)(x0)5!(x-x0)^5
Como f'(x0)=-1, f^(3)(x0)=1, f^(5)(x0)=-1, obtemos
T6(f)(x) =-(x-tfracpi2) +(x-tfracpi2)^33! -(x-tfracpi2)^55!
Simplificando 3!=6 e 5!=120,

Resposta

T6(f)(x) =-(x-tfracpi2) +(x-tfracpi2)^36 -(x-tfracpi2)^5120

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