Encontre a serie de Fourier
F(f)(x)=a02+sumn=1^infty(an cos (n piL x)+bn sin (n piL x))
Para as funções seguintes
f(x)=lc 0, & -3<x<-1 1, & -1<x<1 0, & 1<x<3
com f(x+6)=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar a série de Fourier para a função f(x) que é periódica com período 6. A série de Fourier ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes a0 , an e bn usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Como f(x+6) = f(x) , o período L é 6. Mas, na série de Fourier, usamos L como metade do período, então L = 3 .

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente a0 . Ele é dado pela fórmula:
a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx
Substituindo L = 3 :
a0 = 13 integral-3^3 f(x) , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral dividindo em partes onde a função f(x) é constante:
a0 = 13 ( integral-3^-1 0 , dx + integral-1^1 1 , dx + integral1^3 0 , dx )
a0 = 13 ( 0 + (1 - (-1)) + 0 ) = 13 times 2 = 23

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes an para n >= 1 :
an = 1L integral-L^L f(x) cos(n piL x) dx
Substituindo L = 3 :
an = 13 integral-3^3 f(x) cos(n pi3 x) dx

Passo 6

Dividindo a integral nas partes onde f(x) é constante:
an = 13 ( integral-3^-1 0 cdot cos(n pi3 x) dx + integral-1^1 1 cdot cos(n pi3 x) dx + integral1^3 0 cdot cos(n pi3 x) dx )
an = 13 integral-1^1 cos(n pi3 x) dx

Passo 7

Calculando a integral:
an = 13 [ 3n pi sin(n pi3 x) ]-1^1 = 1n pi [ sin(n pi3) - sin(-n pi3) ]
Como sin(-theta) = -sin(theta) :
an = 2n pi sin(n pi3)

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes bn para n >= 1 :
bn = 1L integral-L^L f(x) sin(n piL x) dx
Substituindo L = 3 :
bn = 13 integral-3^3 f(x) sin(n pi3 x) dx

Passo 9

Dividindo a integral nas partes onde f(x) é constante:
bn = 13 ( integral-3^-1 0 cdot sin(n pi3 x) dx + integral-1^1 1 cdot sin(n pi3 x) dx + integral1^3 0 cdot sin(n pi3 x) dx )
bn = 13 integral-1^1 sin(n pi3 x) dx

Passo 10

Calculando a integral:
bn = 13 [ -3n pi cos(n pi3 x) ]-1^1 = -1n pi [ cos(n pi3) - cos(-n pi3) ]
Como cos(-theta) = cos(theta) :
bn = -1n pi [ cos(n pi3) - cos(n pi3) ] = 0
Então, todos os bn são zero.

Resposta

A série de Fourier da função f(x) é dada por:
F(f)(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(n pi3 x) )
Onde:
a0 = 23
an = 2n pi sin(n pi3)
E todos os bn = 0 . Portanto, a série de Fourier final é:
F(f)(x) = 13 + sumn=1^infty ( 2n pi sin(n pi3) cos(n pi3 x) )

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