Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão
indicada abaixo para cada item.
a)
a)
Passo 1
O enunciado que você me deu pede: "Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão
indicada abaixo para cada item. a)
".
Informações fornecidas: .
Informação que falta / problema: o enunciado não trouxe quais são “as equações do Exercício 1” — ou seja, não há nenhuma função ou intervalo inicial
para eu aplicar o método da bisseção. Sem saber a(s) equação(ões) que você quer que eu resolva, não dá para calcular soluções aproximadas específicas. Portanto não posso dar a resposta numérica pedida para o Exercício 1 porque faltam os dados essenciais (a função e/ou intervalo).
Informações fornecidas:
Informação que falta / problema: o enunciado não trouxe quais são “as equações do Exercício 1” — ou seja, não há nenhuma função
Passo 2
Mesmo assim — e porque você disse que prefere ver resolução passo a passo para aprender — vou explicar com calma e mostrar, passo a passo, como aplicar o método da bisseção com a precisão
. Assim, quando você me mandar a(s) equação(ões) do Exercício 1 eu ou você poderá aplicar o mesmo procedimento facilmente.
O que é o método da bisseção (em linguagem simples): é um método numérico para encontrar uma raiz (um
tal que
) de uma função contínua
. A ideia é pegar um intervalo
em que a função mude de sinal — isto é,
e
têm sinais opostos — e cortar esse intervalo ao meio repetidamente até que a metade do intervalo seja pequena o suficiente para garantir a precisão desejada.
Por que isso funciona (intuição simples): se
é contínua em
e
, então, pelo Teorema do Valor Intermediário (modo simples: a função tem que “passar por zero” quando muda de sinal), existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Condições necessárias para usar a bisseção:
- A função
deve ser contínua no intervalo . - Deve haver mudança de sinal:
. Isso garante pelo menos uma raiz em .
Se essas condições não forem satisfeitas, a bisseção não é aplicável diretamente — aí é preciso escolher outro intervalo, ou outro método.
Passo 4
Algoritmo do método da bisseção (passo a passo que você seguirá na prova):
- Escolha um intervalo inicial
com . - Calcule o ponto médio
e avalie . - Se
você encontrou a raiz exatamente (raro numericamente). Se não: - Se
, a raiz está em . Tome . - Caso contrário, a raiz está em
. Tome .
- Se
- Repita: em geral, para a iteração
você tem um intervalo , calcula e atualiza o intervalo para conforme o sinal de . - Critério de parada (relacionado à precisão
): se você quer que a aproximação tenha erro absoluto menor ou igual a , pare quando
A aproximação final pode ser
. Razão: qualquer ponto dentro do intervalo
difere da raiz real por no máximo metade do comprimento do intervalo, isto é, por
.
Observação prática: alguns enunciados pedem que o comprimento do intervalo fique menor que
; outros pedem que o erro na raiz seja
. Para garantir erro
use a condição acima com a metade do intervalo.
Passo 5
Como montar tudo na prova (dicas rápidas):
- Primeiro mostre que
é contínua no intervalo escolhido (se for uma função polinomial, exponencial, etc., diga que é contínua). - Depois calcule
e e mostre que os sinais são opostos. Escreva isso claramente. - Faça as iterações apresentando em cada linha
, e . Quando parar, escreva a condição de parada que você usou e o valor aproximado final com o erro estimado.
Passo 6
Exemplo ilustrativo (totalmente didático) — aplicando a bisseção passo a passo com
. Vou escolher uma função simples para mostrar como fazer:
(raiz conhecida
), e intervalo inicial
porque:
-
e , logo (há mudança de sinal).
Agora as iterações (mostrando cada passo numérico):
Iteração 1:
-
. -
. -
. - Como
, atualizamos para .
Iteração 2:
-
. -
. -
. - Como
tem sinal oposto a , atualizamos para .
Iteração 3:
-
. -
. -
. - Atualizamos para
.
Iteração 4:
-
. -
. -
. - Atualizamos para
.
Agora verifique o critério de parada com
:
- O comprimento do intervalo atual é
. - A metade é
, ainda maior que .
Iteração 5:
-
. -
. -
. - Atualizamos o intervalo para
.
Agora o comprimento do novo intervalo é
e a metade é
. Como
a condição de parada (erro garantido menor ou igual a
) está satisfeita. Podemos então tomar como aproximação da raiz o ponto médio da última iteração que calculamos:
. O erro máximo garantido é
.
Observação: a raiz verdadeira
, e a nossa aproximação
está a cerca de
da raiz verdadeira — bem dentro do limite requerido
.
Passo 7
Resumo de como agir quando você tiver o Exercício 1:
- Me envie a função
e, se houver, o intervalo sugerido . Se não houver intervalo, diga só a função e eu proponho um intervalo e mostro as iterações. - Eu aplico o procedimento descrito: checar mudança de sinal, iterar calculando médios e avaliar
, e parar quando . - Na prova, escreva claramente cada iteração (intervalo, ponto médio, valor de
no ponto médio) e a justificativa do critério de parada.
Resposta
Não é possível determinar as soluções aproximadas porque o enunciado não forneceu as equações do Exercício 1.