Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão \varepsilon indicada abaixo para cada item.
a) \varepsilon=0.02

Passo 1

O enunciado que você me deu pede: "Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão \varepsilon indicada abaixo para cada item. a) \varepsilon=0,02".
Informações fornecidas: \varepsilon=0,02.
Informação que falta / problema: o enunciado não trouxe quais são “as equações do Exercício 1” — ou seja, não há nenhuma função f(x) ou intervalo inicial [a,b] para eu aplicar o método da bisseção. Sem saber a(s) equação(ões) que você quer que eu resolva, não dá para calcular soluções aproximadas específicas. Portanto não posso dar a resposta numérica pedida para o Exercício 1 porque faltam os dados essenciais (a função e/ou intervalo).

Passo 2

Mesmo assim — e porque você disse que prefere ver resolução passo a passo para aprender — vou explicar com calma e mostrar, passo a passo, como aplicar o método da bisseção com a precisão \varepsilon=0,02. Assim, quando você me mandar a(s) equação(ões) do Exercício 1 eu ou você poderá aplicar o mesmo procedimento facilmente.
O que é o método da bisseção (em linguagem simples): é um método numérico para encontrar uma raiz (um x tal que f(x)=0) de uma função contínua f. A ideia é pegar um intervalo [a,b] em que a função mude de sinal — isto é, f(a) e f(b) têm sinais opostos — e cortar esse intervalo ao meio repetidamente até que a metade do intervalo seja pequena o suficiente para garantir a precisão desejada.
Por que isso funciona (intuição simples): se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então, pelo Teorema do Valor Intermediário (modo simples: a função tem que “passar por zero” quando muda de sinal), existe pelo menos uma raiz em [a,b].

Passo 3

Condições necessárias para usar a bisseção:
  • A função f deve ser contínua no intervalo [a,b].
  • Deve haver mudança de sinal: f(a)\cdot f(b)<0. Isso garante pelo menos uma raiz em [a,b].
Se essas condições não forem satisfeitas, a bisseção não é aplicável diretamente — aí é preciso escolher outro intervalo, ou outro método.

Passo 4

Algoritmo do método da bisseção (passo a passo que você seguirá na prova):
  1. Escolha um intervalo inicial [a_1,b_1] com f(a_1)\cdot f(b_1)<0.
  2. Calcule o ponto médio c_1=\dfrac{a_1+b_1}{2} e avalie f(c_1).
  3. Se f(c_1)=0 você encontrou a raiz exatamente (raro numericamente). Se não:
    • Se f(a_1)\cdot f(c_1)<0, a raiz está em [a_1,c_1]. Tome [a_2,b_2]=[a_1,c_1].
    • Caso contrário, a raiz está em [c_1,b_1]. Tome [a_2,b_2]=[c_1,b_1].
  4. Repita: em geral, para a iteração k você tem um intervalo [a_k,b_k], calcula c_k=(a_k+b_k)/2 e atualiza o intervalo para [a_{k+1},b_{k+1}] conforme o sinal de f(c_k).
  5. Critério de parada (relacionado à precisão \varepsilon): se você quer que a aproximação tenha erro absoluto menor ou igual a \varepsilon, pare quando
\frac{b_k-a_k}{2} \le \varepsilon.
A aproximação final pode ser c_k. Razão: qualquer ponto dentro do intervalo [a_k,b_k] difere da raiz real por no máximo metade do comprimento do intervalo, isto é, por (b_k-a_k)/2.
Observação prática: alguns enunciados pedem que o comprimento do intervalo fique menor que \varepsilon; outros pedem que o erro na raiz seja \le\varepsilon. Para garantir erro \le\varepsilon use a condição acima com a metade do intervalo.

Passo 5

Como montar tudo na prova (dicas rápidas):
  • Primeiro mostre que f é contínua no intervalo escolhido (se for uma função polinomial, exponencial, etc., diga que é contínua).
  • Depois calcule f(a) e f(b) e mostre que os sinais são opostos. Escreva isso claramente.
  • Faça as iterações apresentando em cada linha [a_k,b_k], c_k e f(c_k). Quando parar, escreva a condição de parada que você usou e o valor aproximado final com o erro estimado.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (totalmente didático) — aplicando a bisseção passo a passo com \varepsilon=0,02. Vou escolher uma função simples para mostrar como fazer: f(x)=x^2-2 (raiz conhecida \sqrt{2}\approx1,4142\ldots), e intervalo inicial [a_1,b_1]=[1,2] porque:
  • f(1)=1^2-2=-1 e f(2)=2^2-2=2, logo f(1)\cdot f(2)=-2<0 (há mudança de sinal).
Agora as iterações (mostrando cada passo numérico):
Iteração 1:
  • [a_1,b_1]=[1,2].
  • c_1=\dfrac{1+2}{2}=1,5.
  • f(c_1)=1,5^2-2=2,25-2=0,25>0.
  • Como f(1)\cdot f(c_1)=-1\cdot0,25<0, atualizamos para [a_2,b_2]=[1,1,5].
Iteração 2:
  • [a_2,b_2]=[1,1,5].
  • c_2=\dfrac{1+1,5}{2}=1,25.
  • f(c_2)=1,25^2-2=1,5625-2=-0,4375<0.
  • Como f(c_2) tem sinal oposto a f(b_2), atualizamos para [a_3,b_3]=[1,25,1,5].
Iteração 3:
  • [a_3,b_3]=[1,25,1,5].
  • c_3=\dfrac{1,25+1,5}{2}=1,375.
  • f(c_3)=1,375^2-2=1,890625-2=-0,109375<0.
  • Atualizamos para [a_4,b_4]=[1,375,1,5].
Iteração 4:
  • [a_4,b_4]=[1,375,1,5].
  • c_4=\dfrac{1,375+1,5}{2}=1,4375.
  • f(c_4)=1,4375^2-2=2,06640625-2=0,06640625>0.
  • Atualizamos para [a_5,b_5]=[1,375,1,4375].
Agora verifique o critério de parada com \varepsilon=0,02:
  • O comprimento do intervalo atual é b_5-a_5=1,4375-1,375=0,0625.
  • A metade é (b_5-a_5)/2=0,03125, ainda maior que \varepsilon.
Iteração 5:
  • [a_5,b_5]=[1,375,1,4375].
  • c_5=\dfrac{1,375+1,4375}{2}=1,40625.
  • f(c_5)=1,40625^2-2=1,9775390625-2=-0,0224609375<0.
  • Atualizamos o intervalo para [a_6,b_6]=[1,40625,1,4375].
Agora o comprimento do novo intervalo é b_6-a_6=1,4375-1,40625=0,03125 e a metade é (b_6-a_6)/2=0,015625. Como
\frac{b_6-a_6}{2}=0,015625 \le \varepsilon=0,02,
a condição de parada (erro garantido menor ou igual a \varepsilon) está satisfeita. Podemos então tomar como aproximação da raiz o ponto médio da última iteração que calculamos: c_5=1,40625. O erro máximo garantido é \le 0,015625.
Observação: a raiz verdadeira \sqrt{2}\approx1,41421\ldots, e a nossa aproximação 1,40625 está a cerca de 0,00796 da raiz verdadeira — bem dentro do limite requerido \varepsilon=0,02.

Passo 7

Resumo de como agir quando você tiver o Exercício 1:
  • Me envie a função f(x) e, se houver, o intervalo sugerido [a,b]. Se não houver intervalo, diga só a função e eu proponho um intervalo e mostro as iterações.
  • Eu aplico o procedimento descrito: checar mudança de sinal, iterar calculando médios e avaliar f, e parar quando (b-a)/2\le\varepsilon.
  • Na prova, escreva claramente cada iteração (intervalo, ponto médio, valor de f no ponto médio) e a justificativa do critério de parada.

Resposta

Não é possível determinar as soluções aproximadas porque o enunciado não forneceu as equações do Exercício 1.

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