Utilizando o método de Newton, determine aproximações para todas as soluções reais das equações abaixo dentro das precisões
indicadas, arredondando para quatro casas decimais, quando for o caso.
a)
a)
Passo 1
Enunciado e dados: queremos, usando o método de Newton, determinar aproximações para todas as soluções reais da equação
com precisão
, e arredondar o resultado para quatro casas decimais quando for o caso.
Informações relevantes dadas: a equação acima e o valor de . O problema pede todas as soluções reais (se houver mais de uma) e que usemos Newton para aproximá‑las até a precisão indicada.
Informações relevantes dadas: a equação acima e o valor de
Passo 2
Transformação algébrica útil (para facilitar a aplicação de Newton): multiplicamos ambos os lados por
(que é sempre positivo, logo não introduz soluções extranas) para obter um polinômio:
Desenvolvendo,
portanto a equação equivalente é
Vou trabalhar com esta forma polinomial porque é mais simples calcular
e
numa iteração de Newton.
Passo 3
Mostrando que existe exatamente uma solução real (importante para sabermos que encontramos “todas”): seja
Calculamos
. Os pontos críticos resolvem
, ou seja
Avalio
nesses pontos (apenas para saber o sinal):
Como
quando
e
quando
, e os valores em ambos os pontos críticos são negativos, a curva do polinômio cruza o eixo
apenas uma vez. Logo há exatamente uma solução real. Assim só precisamos aproximar essa única raiz.
Passo 4
Apresentando o método de Newton (aulas rápidas): dada
diferenciável, as iterações de Newton são
Aqui
e
. Critério prático de parada: podemos parar quando a diferença entre iterações consecutivas satisfizer
. Isso garante que estamos dentro da precisão exigida.
Passo 5
Escolha do chute inicial
: observamos que
(negativo) e
(positivo), então existe uma raiz entre
e
. Escolho
(próximo e conveniente). Vamos iterar até
.
Passo 6
Cálculo da primeira iteração a partir de
.
Calcule
:
Calcule
:
Aplicando Newton:
Diferença
, ainda maior que
, então continuamos.
Passo 7
Segunda iteração a partir de
.
Calculamos (com as contas mostradas de forma clara, mantendo precisão suficiente):
Aproximação de
:
Aproximação de
:
Agora
:
Calcule
. Assim
E
:
Aplicando Newton:
Passo 8
Verificação do critério de parada:
Portanto já atingimos a precisão exigida. A raiz aproximada é
.
Passo 9
Arredondamento final para quatro casas decimais (como pedido): arredondando
para quatro casas decimais obtemos
.