Encontre aproximações para todas as soluções reais de f(x)=0, dentro da precisão \varepsilon indicada, utilizando o método da bisseção, nos seguintes casos:
f(x)=\operatorname{sen} x-x^{2}+1, \quad \varepsilon=0.2

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pedido: encontrar aproximações para todas as soluções reais da equação \sin x - x^{2} + 1 = 0 com precisão \varepsilon = 0,2, usando o método da bisseção.
  • Dados que temos: a função
f(x)=\sin x - x^{2} + 1,
e a tolerância \varepsilon=0,2.
  • Observação importante: a resolução exige que a gente encontre todas as soluções reais e que use explicitamente o método da bisseção para obter aproximações dentro da precisão dada.

Passo 2

O método da bisseção — explicação didática e critério de parada
  • Ideia básica: se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real r em (a,b). A bisseção aproveita isso: calculamos o ponto médio m=(a+b)/2, avaliamos f(m) e substituímos [a,b] por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m), mantendo sempre um intervalo que contém uma raiz. Repetimos até que o intervalo seja pequeno o suficiente.
  • Critério de erro: se m é o ponto médio do intervalo atual [a,b], então a raiz verdadeira r satisfaça |m-r|\le (b-a)/2. Para garantir que a aproximação m esteja dentro de \varepsilon da raiz, basta exigir
\frac{b-a}{2}\le \varepsilon.
Assim vamos parar quando o semi-intervalo for menor ou igual a 0,2. Equivalentemente, podemos parar quando o comprimento do intervalo b-a\le 2\varepsilon=0,4.
  • Observação sobre continuidade: a função \sin x e o polinômio -x^{2}+1 são contínuos, logo f é contínua em \mathbb{R}. Portanto o uso do Teorema do Valor Intermediário é justificado.

Passo 3

Isolamento dos intervalos que contêm raízes (procurando troca de sinal)
Vamos avaliar f em alguns pontos inteiros e próximos para localizar trocas de sinal. Vou mostrar as contas (usei aproximações usuais para \sin).
  • f(0)=\sin 0 - 0 + 1 = 1. Logo f(0)=1 (positivo).
  • f(1)=\sin 1 - 1 + 1 = \sin 1\approx 0,84147. Então f(1)\approx 0,84147 (positivo).
  • f(2)=\sin 2 - 4 + 1 = \sin 2 - 3\approx 0,90930 - 3 = -2,09070. Logo f(2)\approx -2,09070 (negativo).
Com isso vemos uma troca de sinal entre x=1 e x=2, então existe pelo menos uma raiz em (1,2).
  • f(-1)=\sin(-1) - 1 + 1 = \sin(-1)\approx -0,84147. Então f(-1)\approx -0,84147 (negativo).
  • f(0)=1 (positivo), como visto acima.
Logo existe uma troca de sinal entre x=-1 e x=0, então existe pelo menos uma raiz em (-1,0).
Conclusão deste passo: todas as raízes reais da equação estão contidas (pelo menos) nos dois intervalos [-1,0] e [1,2]. Não encontramos outras trocas de sinal em pontos mais afastados (por exemplo f(2) e f(3) são negativos, e para grandes |x| o termo -x^2 domina tornando f negativo), então são estas duas raízes reais que temos que aproximar.

Passo 4

Aplicando a bisseção no intervalo [-1,0] para achar a raiz negativa
Dados iniciais: a=-1, b=0, f(a)\approx -0,84147, f(b)=1. O comprimento do intervalo inicial é b-a=1, então (b-a)/2=0,5>0,2, precisamos iterar.
Iteração 1:
  • Ponto médio m_{1}=\dfrac{-1+0}{2}=-0,5.
  • Avaliação: \sin(-0,5)\approx -0,47943. Então
f(-0,5)=\sin(-0,5)-(-0,5)^{2}+1 \approx -0,47943 - 0,25 + 1 = 0,27057.
Logo f(-0,5)\approx 0,27057 (positivo).
  • Sinais: f(-1)<0 e f(-0,5)>0, há troca de sinal em [-1,-0,5]. Atualizamos o intervalo para a=-1, b=-0,5.
Agora o comprimento do novo intervalo é b-a=0,5, então (b-a)/2=0,25>0,2 — ainda maior que \varepsilon, devemos continuar.
Iteração 2:
  • Novo ponto médio m_{2}=\dfrac{-1+(-0,5)}{2}=-0,75.
  • Avaliação: \sin(-0,75)\approx -0,68164. Então
f(-0,75)=\sin(-0,75)-(-0,75)^{2}+1 \approx -0,68164 - 0,5625 + 1 = -0,24414.
Logo f(-0,75)\approx -0,24414 (negativo).
  • Sinais: f(-0,75)<0 e f(-0,5)>0, há troca de sinal em [-0,75,-0,5]. Atualizamos para a=-0,75, b=-0,5.
Agora o comprimento é b-a=0,25. Verificamos o critério: (b-a)/2 = 0,125 \le 0,2. Portanto já garantimos que o ponto médio dá uma aproximação com erro \le 0,2. Podemos parar.
  • A aproximação (ponto médio final) é
m = \frac{-0,75 + (-0,5)}{2} = -0,625.
Interpretação: existe uma raiz r_1\in[-0,75,-0,5] e |m-r_1|\le 0,125\le 0,2. Assim m=-0,625 é uma aproximação válida dentro da precisão exigida.

Passo 5

Aplicando a bisseção no intervalo [1,2] para achar a raiz positiva
Dados iniciais: a=1, b=2, f(a)\approx 0,84147, f(b)\approx -2,09070. Comprimento inicial b-a=1 e (b-a)/2=0,5>0,2, então iteramos.
Iteração 1:
  • Ponto médio m_{1}=\dfrac{1+2}{2}=1,5.
  • Avaliação: \sin(1,5)\approx 0,99749. Então
f(1,5)=\sin(1,5)-(1,5)^{2}+1 \approx 0,99749 - 2,25 + 1 = -0,25251.
Logo f(1,5)\approx -0,25251 (negativo).
  • Sinais: f(1)>0 e f(1,5)<0, há troca de sinal em [1,1,5]. Atualizamos para a=1, b=1,5.
Comprimento do novo intervalo b-a=0,5 e (b-a)/2=0,25>0,2, ainda precisa continuar.
Iteração 2:
  • Novo ponto médio m_{2}=\dfrac{1+1,5}{2}=1,25.
  • Avaliação: \sin(1,25)\approx 0,94898. Então
f(1,25)=\sin(1,25)-(1,25)^{2}+1 \approx 0,94898 - 1,5625 + 1 = 0,38648.
Logo f(1,25)\approx 0,38648 (positivo).
  • Sinais: f(1,25)>0 e f(1,5)<0, há troca de sinal em [1,25,1,5]. Atualizamos para a=1,25, b=1,5.
Agora o comprimento é b-a=0,25 e (b-a)/2=0,125\le 0,2. Assim podemos parar.
  • A aproximação (ponto médio final) é
m=\frac{1,25+1,5}{2}=1,375.
Interpretação: existe uma raiz r_2\in[1,25,1,5] e |m-r_2|\le 0,125\le 0,2. Logo m=1,375 é uma aproximação dentro da precisão pedida.

Passo 6

Resumo e verificação rápida
  • Encontramos duas raízes reais, uma em (-1,0) e outra em (1,2), e usamos bisseção até que o semi-intervalo fosse \le 0,2. Em cada caso paramos assim que (b-a)/2 \le 0,2, garantindo que o ponto médio final está a no máximo 0,2 da raiz verdadeira.
  • Aproximações finais obtidas pelo método da bisseção:
    • raiz negativa aproximada por -0,625,
    • raiz positiva aproximada por 1,375.

Resposta

-0,625
1,375

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