Encontre aproximações para todas as soluções reais de
, dentro da precisão
indicada, utilizando o método da bisseção, nos seguintes casos:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pedido: encontrar aproximações para todas as soluções reais da equação
com precisão , usando o método da bisseção. - Dados que temos: a função
e a tolerância
.
- Observação importante: a resolução exige que a gente encontre todas as soluções reais e que use explicitamente o método da bisseção para obter aproximações dentro da precisão dada.
Passo 2
O método da bisseção — explicação didática e critério de parada
- Ideia básica: se
é contínua num intervalo e e têm sinais opostos, então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real em . A bisseção aproveita isso: calculamos o ponto médio , avaliamos e substituímos por ou conforme o sinal de , mantendo sempre um intervalo que contém uma raiz. Repetimos até que o intervalo seja pequeno o suficiente. - Critério de erro: se
é o ponto médio do intervalo atual , então a raiz verdadeira satisfaça . Para garantir que a aproximação esteja dentro de da raiz, basta exigir
Assim vamos parar quando o semi-intervalo for menor ou igual a
. Equivalentemente, podemos parar quando o comprimento do intervalo
.
- Observação sobre continuidade: a função
e o polinômio são contínuos, logo é contínua em . Portanto o uso do Teorema do Valor Intermediário é justificado.
Passo 3
Isolamento dos intervalos que contêm raízes (procurando troca de sinal)
Vamos avaliar
em alguns pontos inteiros e próximos para localizar trocas de sinal. Vou mostrar as contas (usei aproximações usuais para
).
-
. Logo (positivo). -
. Então (positivo). -
. Logo (negativo).
Com isso vemos uma troca de sinal entre
e
, então existe pelo menos uma raiz em
.
-
. Então (negativo). - Já
(positivo), como visto acima.
Logo existe uma troca de sinal entre
e
, então existe pelo menos uma raiz em
.
Conclusão deste passo: todas as raízes reais da equação estão contidas (pelo menos) nos dois intervalos
e
. Não encontramos outras trocas de sinal em pontos mais afastados (por exemplo
e
são negativos, e para grandes
o termo
domina tornando
negativo), então são estas duas raízes reais que temos que aproximar.
Passo 4
Aplicando a bisseção no intervalo
para achar a raiz negativa
Dados iniciais:
,
,
,
. O comprimento do intervalo inicial é
, então
, precisamos iterar.
Iteração 1:
- Ponto médio
. - Avaliação:
. Então
Logo
(positivo).
- Sinais:
e , há troca de sinal em . Atualizamos o intervalo para , .
Agora o comprimento do novo intervalo é
, então
— ainda maior que
, devemos continuar.
Iteração 2:
- Novo ponto médio
. - Avaliação:
. Então
Logo
(negativo).
- Sinais:
e , há troca de sinal em . Atualizamos para , .
Agora o comprimento é
. Verificamos o critério:
. Portanto já garantimos que o ponto médio dá uma aproximação com erro
. Podemos parar.
- A aproximação (ponto médio final) é
Interpretação: existe uma raiz
e
. Assim
é uma aproximação válida dentro da precisão exigida.
Passo 5
Aplicando a bisseção no intervalo
para achar a raiz positiva
Dados iniciais:
,
,
,
. Comprimento inicial
e
, então iteramos.
Iteração 1:
- Ponto médio
. - Avaliação:
. Então
Logo
(negativo).
- Sinais:
e , há troca de sinal em . Atualizamos para , .
Comprimento do novo intervalo
e
, ainda precisa continuar.
Iteração 2:
- Novo ponto médio
. - Avaliação:
. Então
Logo
(positivo).
- Sinais:
e , há troca de sinal em . Atualizamos para , .
Agora o comprimento é
e
. Assim podemos parar.
- A aproximação (ponto médio final) é
Interpretação: existe uma raiz
e
. Logo
é uma aproximação dentro da precisão pedida.
Passo 6
Resumo e verificação rápida
- Encontramos duas raízes reais, uma em
e outra em , e usamos bisseção até que o semi-intervalo fosse . Em cada caso paramos assim que , garantindo que o ponto médio final está a no máximo da raiz verdadeira. - Aproximações finais obtidas pelo método da bisseção:
- raiz negativa aproximada por
, - raiz positiva aproximada por
.
- raiz negativa aproximada por