Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão
indicada abaixo para cada item.
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede: determinar soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 usando o método da bisseção, com a precisão
indicada. No item dado temos
.
Informações explicitamente fornecidas pelo enunciado que você me passou:
e o método a usar: bisseção.
Informações que faltam (e que são essenciais para calcular a solução numérica):
a função cuja raiz queremos e o intervalo inicial
em que existe mudança de sinal (ou informação equivalente sobre onde procurar a raiz). Sem esses dados não dá para aplicar a bisseção numericamente.
a função
Passo 2
Por que não posso entregar a solução numérica pedida para o item (d) com os dados que você enviou?
O método da bisseção exige conhecer explicitamente a função
e um intervalo
tal que
seja contínua em
e
(ou seja, há mudança de sinal nos extremos, garantindo por Bolzano/Teorema do valor-intermediário a existência de pelo menos uma raiz). Sem saber qual é
e sem um
inicial, não há como avaliar
nem calcular midpoints, logo não é possível produzir a sequência de iterações nem a aproximação final. Portanto, não há como fornecer a solução numérica pedida para o item (d) sem a função/intervalo do Exercício 1.
Passo 3
Vou te ensinar do zero, passo a passo, o método da bisseção e como aplicá‑lo na hora da prova. Assim, quando você tiver a função e o intervalo, vai poder aplicar o processo sozinho e rápido.
-
Princípio básico (intuição):
Seé contínua em e e têm sinais opostos, então há pelo menos uma raiz em . A bisseção corta o intervalo ao meio repetidas vezes, escolhendo o subintervalo que contém a raiz. -
Fórmula do ponto médio:
Sejae os extremos atuais. O ponto médio é
A cada iteração calculamos
. Se
, a raiz está em
; se
, a raiz está em
. Se
exatamente,
é a raiz.
- Continuidade e condição inicial:
Sempre verifique queé contínua no intervalo considerado (na prática, funções polinomiais, exponenciais, etc., são contínuas) e que . Sem isso, a bisseção não é garantida.
Passo 4
Critério de parada e estimativa de erro (o mais importante para a prova):
Depois de
iterações da bisseção, a largura do intervalo atual é
Se você tomar como aproximação o ponto médio atual, o erro máximo (distância entre essa aproximação e a raiz verdadeira) é no máximo metade da largura do intervalo, ou seja
Uma forma prática de exigir que o erro seja menor que
é garantir
ou equivalentemente
Na prática, você calcula o menor inteiro
que satisfaça a desigualdade (ou seja,
) e então executa
iterações; ao final use o ponto médio do intervalo corrente como aproximação.
Observação prática: muitos professores admitem como critério equivalente parar quando a largura do intervalo atual
(pois então o erro do ponto médio
) — fique atento ao critério que o seu curso exige.
Passo 5
Receita passo a passo para aplicar na prova (memorizável e direta):
- Identifique
. - Encontre um intervalo
com . Se não encontrar, tente dividir o domínio em subintervalos ou usar gráfico/avaliações para localizar um sinal trocado. - Calcule
. - Execute até
iterações: - Calcule
. - Calcule
. - Se
, ponha ; senão ponha .
- Calcule
- Ao fim, a aproximação é
. Documente em cada iteração — o examinador gosta de ver o processo.
Dica rápida: se em alguma iteração
(raro em aritmética à mão), pare e devolva
exatamente.
Passo 6
Exemplo completo (modelo que você pode reproduzir na prova): encontrar raiz de
em
com
. Eu uso este exemplo porque é clássico e ilustra tudo.
- Verificação inicial:
logo
e condição satisfeita.
- Estimar número de iterações:
Logo vamos fazer 6 iterações (ou até que a largura do intervalo fique
).
- Iterações (mostro
e , mantendo vírgula como separador decimal):
- Iteração 1:
, .
Como
, a raiz fica em
.
- Iteração 2:
Mudamos para
.
- Iteração 3:
Mudamos para
.
- Iteração 4:
Mudamos para
.
- Iteração 5:
Mudamos para
.
- Iteração 6:
Agora
, portanto o novo intervalo é
.
- Resultado após 6 iterações:
A largura do intervalo é, que é menor que , então o ponto médio do intervalo final
é uma aproximação da raiz com erro
. Você pode reportar, por exemplo,
.
Isto mostra exatamente como aplicar o critério: calcular
, iterar
vezes, e devolver o ponto médio do intervalo final.
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: sem a função
e o intervalo
do Exercício 1 não tenho como fornecer a solução numérica pedida no item (d). Mas agora você tem um roteiro detalhado (e um exemplo resolvido) que permite realizar a bisseção por conta própria quando tiver a função e o intervalo — e fazer isso de forma rápida na prova, respeitando
.
Força aí — você consegue aplicar essas etapas na prova. Se depois quiser, cole aqui a função e o intervalo e eu executo as iterações exatamente para o seu exercício.
Resposta
Não é possível determinar a solução numérica porque o enunciado do Exercício 1 (a função
e o intervalo inicial
) não foi fornecido.