Determine soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 utilizando o método da bisseção, com a precisão \varepsilon indicada abaixo para cada item.
d) \varepsilon=0.027

Passo 1

O enunciado pede: determinar soluções aproximadas para as equações do Exercício 1 usando o método da bisseção, com a precisão \varepsilon indicada. No item dado temos \varepsilon=0{,}027.
Informações explicitamente fornecidas pelo enunciado que você me passou:
\varepsilon=0{,}027 e o método a usar: bisseção.
Informações que faltam (e que são essenciais para calcular a solução numérica):
a função f(x) cuja raiz queremos e o intervalo inicial [a,b] em que existe mudança de sinal (ou informação equivalente sobre onde procurar a raiz). Sem esses dados não dá para aplicar a bisseção numericamente.

Passo 2

Por que não posso entregar a solução numérica pedida para o item (d) com os dados que você enviou?
O método da bisseção exige conhecer explicitamente a função f e um intervalo [a,b] tal que f seja contínua em [a,b] e f(a)\,f(b)<0 (ou seja, há mudança de sinal nos extremos, garantindo por Bolzano/Teorema do valor-intermediário a existência de pelo menos uma raiz). Sem saber qual é f e sem um [a,b] inicial, não há como avaliar f(a),f(b) nem calcular midpoints, logo não é possível produzir a sequência de iterações nem a aproximação final. Portanto, não há como fornecer a solução numérica pedida para o item (d) sem a função/intervalo do Exercício 1.

Passo 3

Vou te ensinar do zero, passo a passo, o método da bisseção e como aplicá‑lo na hora da prova. Assim, quando você tiver a função e o intervalo, vai poder aplicar o processo sozinho e rápido.
  1. Princípio básico (intuição):
    Se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então há pelo menos uma raiz em [a,b]. A bisseção corta o intervalo ao meio repetidas vezes, escolhendo o subintervalo que contém a raiz.
  2. Fórmula do ponto médio:
    Seja a e b os extremos atuais. O ponto médio é
m=\frac{a+b}{2}.
A cada iteração calculamos f(m). Se f(a)\,f(m)<0, a raiz está em [a,m]; se f(m)\,f(b)<0, a raiz está em [m,b]. Se f(m)=0 exatamente, m é a raiz.
  1. Continuidade e condição inicial:
    Sempre verifique que f é contínua no intervalo considerado (na prática, funções polinomiais, exponenciais, etc., são contínuas) e que f(a)\,f(b)<0. Sem isso, a bisseção não é garantida.

Passo 4

Critério de parada e estimativa de erro (o mais importante para a prova):
Depois de n iterações da bisseção, a largura do intervalo atual é
\frac{b-a}{2^n}.
Se você tomar como aproximação o ponto médio atual, o erro máximo (distância entre essa aproximação e a raiz verdadeira) é no máximo metade da largura do intervalo, ou seja
\text{erro} \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Uma forma prática de exigir que o erro seja menor que \varepsilon é garantir
\frac{b-a}{2^{n}} \le \varepsilon,
ou equivalentemente
n \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right).
Na prática, você calcula o menor inteiro n que satisfaça a desigualdade (ou seja, n=\lceil \log_{2}((b-a)/\varepsilon)\rceil) e então executa n iterações; ao final use o ponto médio do intervalo corrente como aproximação.
Observação prática: muitos professores admitem como critério equivalente parar quando a largura do intervalo atual \le 2\varepsilon (pois então o erro do ponto médio \le \varepsilon) — fique atento ao critério que o seu curso exige.

Passo 5

Receita passo a passo para aplicar na prova (memorizável e direta):
  1. Identifique f(x).
  2. Encontre um intervalo [a,b] com f(a)\,f(b)<0. Se não encontrar, tente dividir o domínio em subintervalos ou usar gráfico/avaliações para localizar um sinal trocado.
  3. Calcule n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
  4. Execute até n iterações:
    • Calcule m=(a+b)/2.
    • Calcule f(m).
    • Se f(a)\,f(m)<0, ponha b:=m; senão ponha a:=m.
  5. Ao fim, a aproximação é (a+b)/2. Documente em cada iteração a,b,m,f(m) — o examinador gosta de ver o processo.
Dica rápida: se em alguma iteração f(m)=0 (raro em aritmética à mão), pare e devolva m exatamente.

Passo 6

Exemplo completo (modelo que você pode reproduzir na prova): encontrar raiz de f(x)=x^{3}-x-2 em [1,2] com \varepsilon=0{,}027. Eu uso este exemplo porque é clássico e ilustra tudo.
  1. Verificação inicial:
f(1)=1-1-2=-2,\qquad f(2)=8-2-2=4,
logo f(1)\,f(2)=-8<0 e condição satisfeita.
  1. Estimar número de iterações:
\frac{b-a}{\varepsilon}=\frac{2-1}{0{,}027}\approx 37{,}037,
\log_{2}(37{,}037)\approx 5{,}209\quad\Rightarrow\quad n=\lceil 5{,}209\rceil=6.
Logo vamos fazer 6 iterações (ou até que a largura do intervalo fique \le 2\varepsilon).
  1. Iterações (mostro m e f(m), mantendo vírgula como separador decimal):
  • Iteração 1: a=1, b=2.
m_{1}=\frac{1+2}{2}=1{,}5,\qquad f(1{,}5)=1{,}5^{3}-1{,}5-2=3{,}375-1{,}5-2=-0{,}125.
Como f(1)\,f(1{,}5)=(-2)(-0{,}125)>0, a raiz fica em [1{,}5,2].
  • Iteração 2:
m_{2}=\frac{1{,}5+2}{2}=1{,}75,\qquad f(1{,}75)=1{,}75^{3}-1{,}75-2=1{,}609375>0.
Mudamos para [1{,}5,1{,}75].
  • Iteração 3:
m_{3}=\frac{1{,}5+1{,}75}{2}=1{,}625,\qquad f(1{,}625)=1{,}625^{3}-1{,}625-2\approx0{,}666015625>0.
Mudamos para [1{,}5,1{,}625].
  • Iteração 4:
m_{4}=\frac{1{,}5+1{,}625}{2}=1{,}5625,\qquad f(1{,}5625)\approx0{,}252197266>0.
Mudamos para [1{,}5,1{,}5625].
  • Iteração 5:
m_{5}=\frac{1{,}5+1{,}5625}{2}=1{,}53125,\qquad f(1{,}53125)\approx0{,}0591125488>0.
Mudamos para [1{,}5,1{,}53125].
  • Iteração 6:
m_{6}=\frac{1{,}5+1{,}53125}{2}=1{,}515625,\qquad f(1{,}515625)\approx-0{,}0340542651<0.
Agora f(m_{6})<0, portanto o novo intervalo é [1{,}515625,1{,}53125].
  1. Resultado após 6 iterações:
    A largura do intervalo é 1{,}53125-1{,}515625=0{,}015625, que é menor que 2\varepsilon=0{,}054, então o ponto médio do intervalo final
x^{*}=\frac{1{,}515625+1{,}53125}{2}=1{,}5234375
é uma aproximação da raiz com erro \le \varepsilon. Você pode reportar, por exemplo, x^{*}\approx 1{,}5234.
Isto mostra exatamente como aplicar o critério: calcular n, iterar n vezes, e devolver o ponto médio do intervalo final.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: sem a função f e o intervalo [a,b] do Exercício 1 não tenho como fornecer a solução numérica pedida no item (d). Mas agora você tem um roteiro detalhado (e um exemplo resolvido) que permite realizar a bisseção por conta própria quando tiver a função e o intervalo — e fazer isso de forma rápida na prova, respeitando \varepsilon=0{,}027.
Força aí — você consegue aplicar essas etapas na prova. Se depois quiser, cole aqui a função e o intervalo e eu executo as iterações exatamente para o seu exercício.

Resposta

Não é possível determinar a solução numérica porque o enunciado do Exercício 1 (a função f(x) e o intervalo inicial [a,b]) não foi fornecido.

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