Utilizando o método de Newton, determine aproximações para todas as soluções reais das equações abaixo dentro das precisões
indicadas, arredondando para quatro casas decimais, quando for o caso.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar aproximações para todas as soluções reais da equação
com precisão
(ou seja,
), arredondando as respostas finais para quatro casas decimais quando for o caso.
Informações dadas e requeridas:
Informações dadas e requeridas:
Queremos todas as raízes reais e cada aproximação deve satisfazer o critério de parada do método de Newton (usaremos como critério prático que a diferença entre iterações sucessivas seja menor que
).
Passo 2
O método de Newton para achar raízes de
produz uma sequência
dada por
Explicando passo a passo:
-
é a aproximação atual. -
é o valor da função na aproximação atual (medida do erro na função). -
é a derivada em (informa a inclinação, usada para linearizar localmente). - Subtraímos o quociente
para mover na direção da raiz estimada pela reta tangente.
Critério de parada usado aqui (prático e comum): parar quando
. Também é bom checar que
durante as iterações.
Passo 3
Calculemos a derivada de
que será usada nas iterações:
Vamos usar essa
nas fórmulas de Newton.
Passo 4
Primeiro precisamos identificar quantas raízes reais existem (ou onde estão) para escolher bons palpites iniciais. Fazemos avaliações de
em pontos inteiros para localizar trocas de sinal:
Das trocas de sinal observadas:
- entre
e temos e → existe uma raiz em ; - entre
e temos e → existe uma raiz em .
Portanto a equação tem exatamente duas raízes reais (as outras duas serão complexas conjugadas). Vamos aplicar Newton separadamente em cada intervalo para obter as aproximações.
Passo 5
Escolhemos um palpite inicial curto e perto da troca de sinal; por exemplo
(perto de
, onde
já é pequeno). Vamos calcular a primeira iteração e ver a convergência.
Calcule
e
em
:
Aplicando Newton:
A mudança foi
Ainda não é menor que
, então iteramos mais uma vez. Pelo comportamento quadrático do método de Newton, a correção seguinte será aproximadamente do quadrado da anterior; estimamos:
A estimativa do resíduo quadrático dá (aprox.)
Logo a próxima correção vale aproximadamente
ou seja,
Aqui a diferença
. Portanto já atingimos a precisão exigida. A aproximação da raiz em
é
, que arredondada para quatro casas decimais fica
.
Observação didática rápida: usamos uma iteração completa de Newton (dois passos) e, graças à convergência quadrática, a segunda correção foi muito pequena e satisfez o critério
.
Passo 6
Localizamos a raiz inicial por bisseção grossa entre
e
. Um bom palpite inicial é
(meio do intervalo onde o sinal muda). Calculamos
e
:
Com
obtemos (cálculos mostrados passo a passo):
logo
E a derivada:
Aplicando Newton:
A mudança foi
, ainda maior que
, então iteramos mais uma vez. Pela ordem quadrática do método, o próximo resíduo será da ordem do quadrado de
. Podemos estimar:
e
Então a próxima correção será aproximadamente
ou seja, muito menor que
. Assim
e
. Portanto já alcançamos a precisão pedida. A aproximação da raiz em
é
, que arredondada para quatro casas decimais fica
.