Encontre a solução geral para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias de
ordem não homogêneas, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea cuja forma é
Informações dadas:
- É uma equação linear com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (lado direito) é
.
O objetivo é encontrar a solução geralque engloba a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero):
Método: procurar soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa quadrática. Calculamos o discriminante e as raízes:
Logo as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Observação didática: esse método funciona bem quando o termo não homogêneo é uma combinação de funções do tipo polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto desses. O termo aqui é
, que é um múltiplo de
.
Regra prática do método: fazemos um palpite (ansatz) para
com a mesma forma do termo não homogêneo, multiplicado por um polinômio de grau suficiente. Como
não corresponde a nenhuma raiz da equação característica (as raízes foram
e
, e
não aparece), não precisamos multiplicar por
. Portanto tomamos o palpite simples
onde
é uma constante desconhecida a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na equação para achar
.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
obtemos
Fatorando
(que é não nulo), reduzimos para uma equação algébrica em
:
Passo 5
Simplificamos o lado esquerdo:
Portanto
Assim a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é soma da solução homogênea com a particular: