Encontre a solução geral para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias de 2{ }^{\text {a }} ordem não homogêneas, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=3 e^{2 x} y(x)=C_{1} e^{4 x}+ C_{2} e^{-x}-\frac{1}{2} e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea cuja forma é
y''-3y'-4y=3e^{2x}.
Informações dadas:
  • É uma equação linear com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é 3e^{2x}.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que engloba a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero):
y''-3y'-4y=0.
Método: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-3r-4=0.
Agora resolvemos essa quadrática. Calculamos o discriminante e as raízes:
r=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-4)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2}.
Logo as raízes são r_{1}=4 e r_{2}=-1. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Observação didática: esse método funciona bem quando o termo não homogêneo é uma combinação de funções do tipo polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto desses. O termo aqui é 3e^{2x}, que é um múltiplo de e^{2x}.
Regra prática do método: fazemos um palpite (ansatz) para y_{p} com a mesma forma do termo não homogêneo, multiplicado por um polinômio de grau suficiente. Como e^{2x} não corresponde a nenhuma raiz da equação característica (as raízes foram 4 e -1, e 2 não aparece), não precisamos multiplicar por x. Portanto tomamos o palpite simples
y_{p}(x)=A e^{2x},
onde A é uma constante desconhecida a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} e substituímos na equação para achar A.
Derivadas:
y_{p}'(x)=2A e^{2x},
y_{p}''(x)=4A e^{2x}.
Substituindo em \;y''-3y'-4y=3e^{2x}\; obtemos
4A e^{2x}-3(2A e^{2x})-4(A e^{2x})=3e^{2x}.
Fatorando e^{2x} (que é não nulo), reduzimos para uma equação algébrica em A:
4A-6A-4A=3.

Passo 5

Simplificamos o lado esquerdo:
4A-6A-4A=(4-6-4)A=-6A.
Portanto
-6A=3 \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{2}.
Assim a solução particular é
y_{p}(x)=-\tfrac{1}{2}e^{2x}.

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x}-\tfrac{1}{2}e^{2x}.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x}-\tfrac{1}{2}e^{2x}

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