Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem esse exercício que pede pra gente discutir o comportamento da série . Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente, à análise de convergência ou divergência delas. Para resolver, vamos precisar entender como comparar o crescimento de (fatorial de n) com (a função exponencial elevada ao quadrado de n). Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série infinita. É a soma de infinitos termos, e a gente quer saber se essa soma tem um valor finito (converge) ou não (diverge).
Nesse caso, temos . Para analisar o comportamento da série, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste do Quociente), que é uma ferramenta útil para verificar a convergência de séries que envolvem fatoriais e exponenciais.
Passo 3
O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série , calculamos o limite .
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.
Passo 4
Vamos definir an = n!e^n^2. Agora, calculamos an+1:
an+1 = (n+1)!e^(n+1)^2
Agora, montamos a razão an+1an :
an+1an = (n+1)!e^(n+1)^2 times e^n^2n! = (n+1) times e^n^2 - (n+1)^2
Simplificando o expoente:
n^2 - (n+1)^2 = n^2 - (n^2 + 2n + 1) = -2n -1
Então:
an+1an = (n+1) times e^-2n -1 = (n+1) times e^-1 times e^-2n
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (n+1) times e^-1 times e^-2n = e^-1 times limn to infty n+1e^2n
Sabemos que e^2n cresce muito mais rápido que qualquer polinômio como n+1. Portanto, o limite tende a zero:
L = e^-1 times 0 = 0
Passo 6
Como o limite L = 0 é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série sumn=1^+infty n!e^n^2converge.