Discuta como as funções M(x, y) e N(x, y) podem ser calculadas de modo que cada equação diferencial seja exata. Apresente as suas
ideias.
(x^-12 y^12+xx^2+y) d x+N(x, y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente discutir como calcular as funções M(x, y) e N(x, y) de forma que a equação diferencial dada seja exata. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas, um tópico de cálculo que envolve identificar quando uma equação pode ser integrada diretamente. Vamos precisar entender as condições de exatidão e como ajustar N(x, y) para que a equação funcione direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
é exata se existir uma função Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = M e partial Psipartial y = N
Isso significa que conseguimos encontrar uma função potencial Psi que, ao derivarmos em relação a x ou y , nos dá M ou N , respectivamente.

Passo 3

Para que a equação seja exata, devemos verificar a condição de exatidão, que é:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Então, nosso objetivo é encontrar N(x, y) tal que essa igualdade seja satisfeita. Vamos começar calculando partial Mpartial y .

Passo 4

Dado M(x, y) = x^-12 y^12 + xx^2 + y , vamos derivar em relação a y :
partial Mpartial y = 12 x^-12 y^-12 + -x(x^2 + y)^2
Aqui, usamos a regra da potência para a primeira parte e a regra do quociente para a segunda parte.

Passo 5

Agora, sabemos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Então, para encontrar N(x, y) , precisamos integrar partial Mpartial y em relação a x :
N(x, y) = integral ( 12 x^-12 y^-12 - x(x^2 + y)^2 ) dx + h(y)
Onde h(y) é uma função que depende apenas de y e surge da integração.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
  1. Para 12 x^-12 y^-12 , a integral em relação a x é:
12 y^-12 cdot 2 x^12 = x^12 y^-12
  1. Para -x(x^2 + y)^2 , fazemos uma substituição u = x^2 + y , então du = 2x dx , e a integral fica:
-12 cdot 1(x^2 + y)^1 + C = 12(x^2 + y)
Então, juntando tudo:
N(x, y) = x^12 y^-12 + 12(x^2 + y) + h(y)

Passo 7

Agora, precisamos determinar h(y) . Para isso, usamos a outra condição de exatidão:
partial Psipartial y = N(x, y)
Mas já temos:
N(x, y) = x^12 y^-12 + 12(x^2 + y) + h(y)
E, ao comparar com a derivada de Psi em relação a y , percebemos que h(y) deve ser uma constante, já que não há termo em y puro na nossa expressão para N(x, y) .

Passo 8

Portanto, podemos escolher h(y) = 0 (ou uma constante, que pode ser absorvida na solução geral). Assim, a função N(x, y) que torna a equação diferencial exata é:
N(x, y) = x^12 y^-12 + 12(x^2 + y)

Resposta

A função N(x, y) que torna a equação diferencial exata é:
N(x, y) = x^12 y^-12 + 12(x^2 + y)

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