Discuta como as funções
e
podem ser calculadas de modo que cada equação diferencial seja exata. Apresente as suas
ideias.
ideias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente discutir como calcular as funções
e
de forma que a equação diferencial dada seja exata. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas, um tópico de cálculo que envolve identificar quando uma equação pode ser integrada diretamente. Vamos precisar entender as condições de exatidão e como ajustar
para que a equação funcione direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Isso significa que conseguimos encontrar uma função potencial
que, ao derivarmos em relação a
ou
, nos dá
ou
, respectivamente.
Passo 3
Para que a equação seja exata, devemos verificar a condição de exatidão, que é:
Então, nosso objetivo é encontrar
tal que essa igualdade seja satisfeita. Vamos começar calculando
.
Passo 4
Dado
, vamos derivar em relação a
:
Aqui, usamos a regra da potência para a primeira parte e a regra do quociente para a segunda parte.
Passo 5
Agora, sabemos que:
Então, para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
e surge da integração.
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
- Para
, a integral em relação a é:
- Para
, fazemos uma substituição , então , e a integral fica:
Então, juntando tudo:
Passo 7
Agora, precisamos determinar
. Para isso, usamos a outra condição de exatidão:
Mas já temos:
E, ao comparar com a derivada de
em relação a
, percebemos que
deve ser uma constante, já que não há termo em
puro na nossa expressão para
.
Passo 8
Portanto, podemos escolher
(ou uma constante, que pode ser absorvida na solução geral). Assim, a função
que torna a equação diferencial exata é:
Resposta
A função
que torna a equação diferencial exata é: