Determine o volume do sólido dado.
Abaixo da superfície z=x^2+2 y e acima da região limitada por y=x, y=x^3, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície z = x^2 + 2y e acima da região no plano xy delimitada pelas curvas y = x e y = x^3 , onde y >= 0 . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região de integração no plano xy . Temos duas curvas: y = x e y = x^3 . Vamos encontrar onde essas curvas se interceptam para saber os limites de integração.
Para encontrar a interseção:
x = x^3
x^3 - x = 0
x(x^2 - 1) = 0
x = 0 ou x = pm1
Como y >= 0 , consideramos x = 0 e x = 1 .

Passo 3

Agora, vamos visualizar que para 0 <= x <= 1 , a curva y = x está acima de y = x^3 . Então, nossos limites para y serão de y = x^3 até y = x para cada x nesse intervalo.

Passo 4

Com esses limites, podemos montar a integral dupla para calcular o volume:
V = integralx=0^1 integraly=x^3^x (x^2 + 2y) , dy , dx
Aqui, x^2 + 2y é a altura da superfície z em cada ponto (x, y) .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a y :
integraly=x^3^x (x^2 + 2y) , dy = x^2 cdot (x - x^3) + [ y^2 ]x^3^x = x^3 - x^5 + x^2 - x^6

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a x de 0 a 1:
V = integral0^1 (x^3 - x^5 + x^2 - x^6) , dx = [ x^44 - x^66 + x^33 - x^77 ]0^1
V = ( 14 - 16 + 13 - 17 ) - 0 = 2184 - 1484 + 2884 - 1284 = 2384

Resposta

O volume do sólido é de 2384 unidades cúbicas.

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