Determine o volume do sólido dado.
Abaixo da superfície
e acima da região limitada por
.
Abaixo da superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície
e acima da região no plano
delimitada pelas curvas
e
, onde
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região de integração no plano
. Temos duas curvas:
e
. Vamos encontrar onde essas curvas se interceptam para saber os limites de integração.
Para encontrar a interseção:
Como
, consideramos
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar que para
, a curva
está acima de
. Então, nossos limites para
serão de
até
para cada
nesse intervalo.
Passo 4
Com esses limites, podemos montar a integral dupla para calcular o volume:
Aqui,
é a altura da superfície
em cada ponto
.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido é de
unidades cúbicas.