Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
(a) y\left(6 x^{2} y^{2}-x+1\right)+2 x y^{\prime}=0
(b) y^{\prime}=y+e^{-3 x} y^{4}
(c) 2 x^{3} y^{\prime}=y\left(y^{2}+3 x^{2}\right)
(d) x^{3} y^{\prime}=2 y\left(\sqrt[3]{y}+3 x^{2}\right)
(e) y^{\prime}=5 y-\frac{4 x}{y}
(f) y^{\prime}=y-y^{3}
(g) x^{2} y^{\prime}+2 x y-y^{3}=0
(h) y^{\prime}=y-y^{2}
(i) y-2 x y=x y^{2}
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
(a) y^{\prime}=\frac{x+y}{x}
(b) 2 y-x y^{\prime}=0
(c) y^{\prime}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}
(d) y^{\prime}=\frac{y^{2}+2 x y}{x^{2}}
(e) y^{\prime}=\frac{4 y-3 x}{2 x-y}
(f) y^{\prime}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}
(g) y^{\prime}=\frac{x+3 y}{x-y}
(h) x^{2} y^{\prime}-x^{2}-3 x y-y^{2}=0
(i) x y^{\prime}=y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}
Passo 1
Liste clara do que o enunciado pede e quais equações foram fornecidas.
Questão 3 — Resolver as seguintes equações (Bernoulli) (cada linha é uma equação a ser resolvida):
(3a) \;y\bigl(6 x^{2} y^{2}-x+1\bigr)+2 x y^{\prime}=0
(3b) \;y^{\prime}=y+e^{-3 x} y^{4}
(3c) \;2 x^{3} y^{\prime}=y\bigl(y^{2}+3 x^{2}\bigr)
(3d) \;x^{3} y^{\prime}=2 y\bigl(\sqrt[3]{y}+3 x^{2}\bigr)
(3e) \;y^{\prime}=5 y-\dfrac{4 x}{y}
(3f) \;y^{\prime}=y-y^{3}
(3g) \;x^{2} y^{\prime}+2 x y-y^{3}=0
(3h) \;y^{\prime}=y-y^{2}
(3i) \;y-2 x y=x y^{2} (interpreto como equação diferencial do tipo \;y^{\prime}-2x y=x y^{2}; se o apóstrofo estiver realmente ausente, então é uma equação algébrica e não é uma ODE — aqui vou assumir o formato com y^{\prime}.)
Questão 4 — Resolver as seguintes equações homogêneas de primeira ordem (cada linha é uma equação):
(4a) \;y^{\prime}=\dfrac{x+y}{x}
(4b) \;2 y-x y^{\prime}=0
(4c) \;y^{\prime}=\dfrac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}
(4d) \;y^{\prime}=\dfrac{y^{2}+2 x y}{x^{2}}
(4e) \;y^{\prime}=\dfrac{4 y-3 x}{2 x-y}
(4f) \;y^{\prime}=-\dfrac{4 x+3 y}{2 x+y}
(4g) \;y^{\prime}=\dfrac{x+3 y}{x-y}
(4h) \;x^{2} y^{\prime}-x^{2}-3 x y-y^{2}=0
(4i) \;x y^{\prime}=y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}
O objetivo é obter as soluções gerais (família de integrais) de cada equação. No Passo 2 começo a mostrar o método para Bernoulli e depois aplico a cada item de 3. Em seguida apresento o método para equações homogêneas e resolvo os itens de 4.
Passo 2
Explicação didática do método de Bernoulli (fórmula e ideia).
Uma equação de Bernoulli tem a forma padrão \;y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}, onde P,Q são funções de x e n é um número real. Quando n=0 ou n=1 a equação reduz a outras formas simples; para n\neq0,1 usa-se a substituição abaixo.
Substituição chave: definir \;v=y^{1-n}. Isso lineariza a equação. Vamos ver porquê:
y = x \cdot \frac{C x}{1 - C x} = \frac{C x^{2}}{1 - C x}.
Passo 17
Resolvendo (4e).
Equação: \;y'=\dfrac{4y-3x}{2x-y}. Verifico homogeneidade: numerador e denominador são ambos de grau 1, logo homogênea. Faço v=y/x então y=vx e y'=v+x v'.
Substituo:
v + x v' = \frac{4vx -3x}{2x - vx} = \frac{x(4v-3)}{x(2-v)} = \frac{4v-3}{2-v}.
Então
x v' = \frac{4v-3}{2-v} - v = \frac{4v-3 - v(2-v)}{2-v} = \frac{4v-3 -2v + v^{2}}{2-v} = \frac{v^{2}+2v-3}{2-v}.
Constantes: -2 = 4A + B.
Subtraindo primeiras equações: (-2) - (-1) gives etc. Resolvendo: de primeira B=-1-A. Substituo: -2 = 4A + (-1-A) = 3A -1 então 3A = -1 e A=-\tfrac{1}{3}. Então B = -1 - A = -1 + \tfrac{1}{3} = -\tfrac{2}{3}.
Assim
\int\Bigl(-\frac{1}{3}\frac{1}{v+1} - \frac{2}{3}\frac{1}{v+4}\Bigr)dv = \ln|x| + C.
Integro:
-\frac{1}{3}\ln|v+1| - \frac{2}{3}\ln|v+4| = \ln|x| + C.
Multiplico por -3 e exponencio para obter solução implícita:
Equação: \;x y' = y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Verifico homogeneidade: o termo \sqrt{x^{2}+y^{2}} é homogêneo de grau 1 (pois \sqrt{(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}}=\lambda\sqrt{x^{2}+y^{2}}), e o y também é de grau 1; portanto a razão do lado direito por x é função de v=y/x. Logo é homogênea.