Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
y^prime=2 y+e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem que é do tipo linear. A equação é y' = 2y + e^t . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem legal para resolver equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é y' + P(t)y = Q(t) . No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
y' - 2y = e^t
Aqui, P(t) = -2 e Q(t) = e^t .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) = -2 :
mu(t) = e^integral -2 dt = e^-2t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela mu(t) :
e^-2t y' - 2 e^-2t y = e^-2t e^t
Simplificando o lado direito:
e^-2t e^t = e^-t
Então, a equação fica:
e^-2t y' - 2 e^-2t y = e^-t

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(t) y . Ou seja:
ddt (e^-2t y) = e^-t

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt (e^-2t y) dt = integral e^-t dt
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^-2t y . A integral do lado direito é:
integral e^-t dt = -e^-t + C
Então, temos:
e^-2t y = -e^-t + C

Passo 7

Agora, resolvemos para y :
y = -e^-t cdot e^2t + C e^2t
Simplificando -e^-t cdot e^2t :
-e^t + C e^2t

Resposta

As soluções da equação diferencial são:
y(t) = -e^t + C e^2t
Onde C é uma constante qualquer.

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