Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem que é do tipo linear. A equação é
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem legal para resolver equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é
. No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Simplificando
:
Resposta
As soluções da equação diferencial são:
Onde
é uma constante qualquer.