Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem pra resolver:
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, onde a gente precisa achar a solução que satisfaz essa equação. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
A integral do lado direito é:
Então:
Passo 6
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: