Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
y^prime-2 t y=t

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem pra resolver: y' - 2t y = t . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, onde a gente precisa achar a solução que satisfaz essa equação. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é y' + P(t)y = Q(t) . No nosso caso, temos:
y' - 2t y = t
Aqui, P(t) = -2t e Q(t) = t .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = -2t :
mu(t) = e^integral -2t , dt = e^-t^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) = e^-t^2 :
e^-t^2 y' - 2t e^-t^2 y = t e^-t^2
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto y mu(t) :
ddt ( y e^-t^2 ) = t e^-t^2

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar y e^-t^2 :
integral ddt ( y e^-t^2 ) , dt = integral t e^-t^2 , dt
A integral do lado direito é:
integral t e^-t^2 , dt = -12 e^-t^2 + C
Então:
y e^-t^2 = -12 e^-t^2 + C

Passo 6

Agora, isolamos y multiplicando ambos os lados por e^t^2 :
y = -12 + C e^t^2
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C e^t^2 - 12

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