Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
. Esse tipo de equação é parte das equações diferenciais lineares de primeira ordem que a gente estuda em cálculo. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Mas calma que vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é
. No nosso caso:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica muito as coisas porque agora temos uma equação mais fácil de integrar.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo se simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.