Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
y^prime-2 y=t^2 e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: y' - 2y = t^2 e^2 t . Esse tipo de equação é parte das equações diferenciais lineares de primeira ordem que a gente estuda em cálculo. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Mas calma que vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é y' + P(t)y = Q(t) . No nosso caso:
y' - 2y = t^2 e^2 t
Aqui, P(t) = -2 e Q(t) = t^2 e^2 t .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) = -2 :
mu(t) = e^integral -2 dt = e^-2 t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) = e^-2 t :
e^-2 t y' - 2 e^-2 t y = t^2 e^2 t cdot e^-2 t
Simplificando o lado direito:
e^-2 t y' - 2 e^-2 t y = t^2

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(t) y . Ou seja:
ddt ( e^-2 t y ) = t^2
Isso simplifica muito as coisas porque agora temos uma equação mais fácil de integrar.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( e^-2 t y ) dt = integral t^2 dt
O lado esquerdo se simplifica para:
e^-2 t y = t^33 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por e^2 t :
y = e^2 t ( t^33 + C )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^2 t ( C + t^33 )
onde C é uma constante arbitrária.

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