Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
y^prime+y=t e^-t+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A equação que temos é:
y' + y = t e^-t + 1
Aqui, estamos lidando com uma equação onde a derivada de y mais y é igual a uma função que envolve t . Para resolver isso, vamos usar o Método do Fator Integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação. Vamos precisar identificar o fator integrante e aplicar os passos desse método para achar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para a forma padrão:
y' + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, P(t) = 1 e Q(t) = t e^-t + 1 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) = 1 :
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) :
e^t y' + e^t y = e^t (t e^-t + 1)
Simplificando o lado direito:
e^t y' + e^t y = t + e^t

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(t) y . Então, podemos escrever:
ddt (e^t y) = t + e^t

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt (e^t y) , dt = integral (t + e^t) , dt
Isso nos dá:
e^t y = t^22 + e^t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para y dividindo ambos os lados por e^t :
y = t^22 + e^t + Ce^t
Simplificando:
y = t^22 e^t + 1 + C e^-t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = t^22 e^t + 1 + C e^-t

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