Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação onde a derivada de
mais
é igual a uma função que envolve
. Para resolver isso, vamos usar o Método do Fator Integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação. Vamos precisar identificar o fator integrante e aplicar os passos desse método para achar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para a forma padrão:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então, podemos escrever:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: