Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^2 integraly2^1 cos x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado quer inverter a ordem de integração da integral dupla
integraly=0^2integralx=y2^1cosl(x^2r),dx,dy
O conteúdo aqui é reconhecimento da região de integração no plano (x,y) e troca dos limites.

Passo 2

Identificamos a região
D=l(x,y)mid 0<= y<= 2,;tfracy2<= x<= 1r
Em outras palavras, para cada y entre 0 e 2, x vai de tfrac y2 até 1.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo x. A menor abscissa ocorre quando y=0, dando x>=0; a maior é x=1. Logo
0<= x<= 1

Passo 4

Ainda no ponto fixo x, a condição tfrac y2<= x vira y<= 2x, e mantemos y>=0. Como x<=1, 2x<=2, então para cada xin[0,1] vale
0<= y<= 2x

Passo 5

Assim, a integral com ordem trocada fica
integralx=0^1integraly=0^2xcosl(x^2r),dy,dx

Resposta

integralx=0^1integraly=0^2xcosl(x^2r),dy,dx

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