Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
y^prime-2 y=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 2y = e^2x
que está na forma padrão
y' + p(x),y = q(x)
com p(x) = -2 e q(x) = e^2x. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) por
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -2,dx = e^-2x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x), obtendo
e^-2x(y' - 2y) = e^-2xe^2x = 1,
e reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto e^-2xy:
l(e^-2xyr)' = 1

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral l(e^-2xyr)' ,dx = integral 1,dx
o que dá
e^-2xy = x + C,
onde C é constante de integração. Finalmente isolamos y:
y = (x + C),e^2x

Resposta

A solução geral da equação é
y = (x + C),e^2x,
onde C é constante arbitrária.

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