Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
x^2 y^prime+2 x y=cos x

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2y' + 2x,y = cos x
que é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos primeiro colocá-la na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
e depois usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x^2 (assumindo xneq0), obtemos
y' + 2x,y = cos xx^2

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^2, temos
x^2y' + 2x,y = cos x Longrightarrow ddxl(x^2yr) = cos x
Integrando ambos os lados em relação a x:
x^2y = integral cos x,dx = sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = sin x + Cx^2

Resposta

boxedy(x) = sin x + Cx^2, CinR, xneq0

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