Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
y^prime sen x+y cos x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1ª ordem linear
,y',sin x + y,cos x = 1.
Para isso, vamos reescrever na forma padrão ,y' + p(x),y = q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação por sin x (supondo sin xneq0), obtemos a forma
y' + cos xsin x,y = 1sin x
Aqui, p(x)=cot x e q(x)=csc x.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral p(x),dxr) = exp!l(integral cot x,dxr) = exp(ln|sin x|) = sin x
podendo desprezar o valor absoluto até uma constante multiplicativa.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x), o lado esquerdo vira a derivada de um produto:
ddxl(y,sin xr) = 1

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x,
y,sin x = integral 1,dx = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = x + Csin x,

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x + Csin x,
onde C é constante arbitrária e a expressão vale para x tais que sin xneq0.

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