Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
i) y^{\prime}-y=2 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - y = 2e^x.
O método que vamos usar é o fator integrante, pois a equação está na forma padrão
y' + p(x)y = q(x)
com p(x) = -1 e q(x)=2e^x.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int (-1)\,dx} = e^{-x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2.
O lado esquerdo é justamente a derivada do produto e^{-x}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = e^{-x}y' - e^{-x}y.

Passo 3

Integrando ambos os lados em relação a x, vem
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = 2 \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}y = \int 2\,dx = 2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora isolamos y multiplicando por e^x:
y = e^x\bigl(2x + C\bigr) = 2x e^x + C e^x.

Resposta

A solução geral da equação é
\boxed{y(x) = 2x e^x + C e^x,}
onde C é uma constante arbitrária.

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