Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
m) y^{\prime}=x^{3}-2 x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' = x^{3} - 2x\,y.
Aqui o conteúdo é o método do fator integrante para ODEs da forma
y' + p(x)\,y = g(x),
com p(x)=2x e g(x)=x^3.

Passo 2

Escrevemos a ODE em forma padrão:
y' + 2x\,y = x^3.
Para esse tipo de equação, definimos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}.

Passo 3

Multiplicamos a equação por \mu(x):
e^{x^2}y' + 2x\,e^{x^2}y = x^3 e^{x^2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y\,e^{x^2}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^2}\bigr) = y'\,e^{x^2} + y\,(2x\,e^{x^2}).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{x^2} = \int x^3 e^{x^2}\,dx + C.
Para calcular \displaystyle \int x^3 e^{x^2}\,dx, fazemos t = x^2, dt = 2x\,dx, então x^3\,dx = x^2\cdot x\,dx = t\,\frac{dt}{2}. Assim
\int x^3 e^{x^2}\,dx = \frac12 \int t\,e^t\,dt = \frac12\bigl(t e^t - e^t\bigr) + C' = \frac12\bigl(x^2 e^{x^2} - e^{x^2}\bigr) + C'.
Logo
y\,e^{x^2} = \frac12\bigl(x^2 e^{x^2} - e^{x^2}\bigr) + C = e^{x^2}\,\frac{x^2-1}{2} + C.

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^{x^2}:
y(x) = \frac{x^2 - 1}{2} + C\,e^{-x^2},
onde C é a constante de integração geral.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{x^2 - 1}{2} + C\,e^{-x^2},}
com C constante arbitrária.

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