A função y(t) satisfaz a equação diferencial
\frac{d y}{d t}=y^{4}-6 y^{3}+5 y^{2}
a) Quais são as soluções constantes da equação?
b) Para quais valores de y a função está aumentando?
c) Para quais valores de y a função está diminuindo?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autonôma
\frac{dy}{dt}=y^{4}-6y^{3}+5y^{2}
e pede:
– (a) as soluções constantes;
– (b) para quais valores de y a função está aumentando dy/dt>0;
– (c) para quais valores de y a função está diminuindo dy/dt<0.
O conteúdo envolvido é análise de equilíbrio (pontos críticos) e estudo do sinal de uma função polinomial.

Passo 2

Para achar as soluções constantes, procuramos valores de y tais que \tfrac{dy}{dt}=0. Assim, resolvemos
y^{4}-6y^{3}+5y^{2}=0.

Passo 3

Fatorando o polinômio, temos
y^{4}-6y^{3}+5y^{2} =y^{2}\bigl(y^{2}-6y+5\bigr) =y^{2}(y-1)(y-5).
As raízes são y=0 (multiplicidade 2), y=1 e y=5. Logo, as soluções constantes são
y(t)\equiv 0,\quad y(t)\equiv 1,\quad y(t)\equiv 5.

Passo 4

Para determinar onde y está aumentando ou diminuindo, estudamos o sinal de
f(y)=y^{2}(y-1)(y-5).
Observe que y^{2}\ge0 para todo y e só zera em y=0. Então o sinal de f(y) é o mesmo de (y-1)(y-5), cujo gráfico muda de sinal em y=1 e y=5:
  • Para y<1, ambos y-1<0 e y-5<0, logo (y-1)(y-5)>0.
  • Para 1<y<5, y-1>0 e y-5<0, logo (y-1)(y-5)<0.
  • Para y>5, y-1>0 e y-5>0, logo (y-1)(y-5)>0.

Passo 5

Então:
dy/dt>0 (função aumentando) quando f(y)>0, isto é, para
y<1\quad\text{ou}\quad y>5.
dy/dt<0 (função diminuindo) quando f(y)<0, isto é, para
1<y<5.

Resposta

(a) y(t)\equiv 0,\;y(t)\equiv 1,\;y(t)\equiv 5.
(b) A função está aumentando para y<1 ou y>5.
(c) A função está diminuindo para 1<y<5.

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