A função
satisfaz a equação diferencial
a) Quais são as soluções constantes da equação?
b) Para quais valores de
a função está aumentando?
c) Para quais valores de
a função está diminuindo?
b) Para quais valores de
c) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autonôma
e pede:
– (a) as soluções constantes;
– (b) para quais valores de a função está aumentando
;
– (c) para quais valores de a função está diminuindo
.
O conteúdo envolvido é análise de equilíbrio (pontos críticos) e estudo do sinal de uma função polinomial.
– (a) as soluções constantes;
– (b) para quais valores de
– (c) para quais valores de
O conteúdo envolvido é análise de equilíbrio (pontos críticos) e estudo do sinal de uma função polinomial.
Passo 2
Para achar as soluções constantes, procuramos valores de
tais que
. Assim, resolvemos
Passo 3
Fatorando o polinômio, temos
As raízes são
(multiplicidade 2),
e
. Logo, as soluções constantes são
Passo 4
Para determinar onde
está aumentando ou diminuindo, estudamos o sinal de
Observe que
para todo
e só zera em
. Então o sinal de
é o mesmo de
, cujo gráfico muda de sinal em
e
:
- Para
, ambos e , logo . - Para
, e , logo . - Para
, e , logo .
Passo 5
Então:
– (função aumentando) quando
, isto é, para
–
–
(função diminuindo) quando
, isto é, para
Resposta
(a)
(b) A função está aumentando para ou
.
(c) A função está diminuindo para .
(b) A função está aumentando para
(c) A função está diminuindo para