Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
e) y^{\prime}+3 y=t+e^{-2 t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 3y = t + e^{-2t}.
O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante: para uma equação na forma
y' + p(t)\,y = q(t)
tomamos o fator integrante
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt}.

Passo 2

Aqui p(t)=3, logo
\mu(t) = e^{\int 3\,dt} = e^{3t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{3t}y' + 3e^{3t}y = (t + e^{-2t})\,e^{3t}
que equivale a
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{3t}\bigr) = t\,e^{3t} + e^{t}.

Passo 3

Agora integramos os dois lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{3t}\bigr)\,dt = \int \bigl(t\,e^{3t} + e^{t}\bigr)\,dt.
Vamos separar em duas integrais:
\int t\,e^{3t}\,dt \quad\text{e}\quad \int e^{t}\,dt.

Passo 4

Para \displaystyle \int t\,e^{3t}\,dt usamos integração por partes tomando
u = t,\quad dv = e^{3t}\,dt
du = dt,\quad v = \frac{1}{3}e^{3t},
então
\int t\,e^{3t}\,dt = t\cdot\frac{1}{3}e^{3t} - \int \frac{1}{3}e^{3t}\,dt = \frac{t}{3}e^{3t} - \frac{1}{9}e^{3t}.
E
\int e^{t}\,dt = e^{t}.

Passo 5

Somando as integrais e incluindo a constante de integração C, temos
y\,e^{3t} = \frac{t}{3}e^{3t} - \frac{1}{9}e^{3t} + e^{t} + C.
Dividindo por e^{3t}, chega-se a
y(t) = \frac{t}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2t} + C\,e^{-3t}.

Resposta

\boxed{y(t) = \frac{t}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2t} + C\,e^{-3t},}
onde C é a constante de integração.

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