Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
j) y^{\prime}-2 y=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'-2y=e^{2x}.
O conteúdo aqui é “equação linear de 1ª ordem” e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x)
identificando
p(x) = -2,\quad q(x)=e^{2x}.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por \mu(x)=e^{-2x}. Isso dá
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = e^{-2x}\,e^{2x} = 1.
Repare que o lado esquerdo é justamente a derivada do produto e^{-2x}y:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr) = e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr)\,dx = \int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{-2x}y = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Finalmente, isolamos y:
y = e^{2x}\,(x + C) = Ce^{2x} + x\,e^{2x}.

Resposta

y(x) = Ce^{2x} + x\,e^{2x},\quad C\in\mathbb{R}.

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