Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
l) x^{2} y^{\prime}+2 x y=\cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
x^{2}y' + 2x\,y = \cos x.
O conteúdo é método do fator integrante para equações da forma
y' + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Colocamos em forma normal dividindo por x^{2} (supondo x\neq0):
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{\cos x}{x^{2}}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(2\ln|x|) = x^{2}.

Passo 4

Multiplicando a equação normal por \mu(x)=x^{2}, obtemos
x^{2}y' + 2x\,y = \cos x,
que reconhecemos como
\bigl(x^{2}y\bigr)' = \cos x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{2}y = \int \cos x\,dx = \sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, a solução geral fica
y(x) = \frac{\sin x + C}{x^{2}}.

Resposta

y(x) = \frac{\sin x + C}{x^{2}},
com C constante arbitrária.

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