Resolva o problema de valor inicial.
c) y^{\prime}+2 y=t e^{-2 t}, \t y(1)=0

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' + 2y = t e^{-2t},
com a condição y(1)=0.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 1º ordem e fator integrante.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de y como p(t)=2. O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt} = e^{\int 2\,dt} = e^{2t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{2t}y' + 2e^{2t}y = t.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{2t}y.

Passo 4

Reconhecemos
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y\bigr) = t.
Agora integramos ambos os lados em relação a t.

Passo 5

A integral de t é
\int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C.
Logo
e^{2t}y = \frac{t^2}{2} + C.

Passo 6

Resolvendo para y, obtemos a solução geral
y(t) = e^{-2t}\Bigl(\frac{t^2}{2} + C\Bigr).
Agora usamos y(1)=0:
0 = e^{-2}\Bigl(\tfrac{1^2}{2} + C\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac12.

Passo 7

Substituindo C=-\tfrac12 em y(t), a solução particular fica
y(t) = e^{-2t}\Bigl(\tfrac{t^2}{2} - \tfrac12\Bigr) = \frac{t^2 - 1}{2}\,e^{-2t}.

Resposta

y(t) = \frac{t^2 - 1}{2}\,e^{-2t}.

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