Resolva o problema de valor inicial.
e) \frac{d y}{d t}-(\cos t) y=t e^{t^{2}+\operatorname{sen} t}, \t y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
\frac{dy}{dt} - (\cos t)\,y = t\,e^{\,t^{2}+\sin t},
com a condição inicial y(0)=2. Vamos usar o método do fator integrante, que consiste em escrever a equação na forma
y' + p(t)\,y = g(t)
e escolher \displaystyle \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.

Passo 2

Primeiro identificamos p(t) e g(t). Aqui
p(t) = -\cos t \quad\text{e}\quad g(t) = t\,e^{\,t^{2}+\sin t}.
O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt} = e^{\int -\cos t\,dt} = e^{-\sin t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{-\sin t}\,\frac{dy}{dt} - \cos t\,e^{-\sin t}\,y = t\,e^{\,t^{2}+\sin t}\,e^{-\sin t} = t\,e^{\,t^{2}}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \mu(t)\,y, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-\sin t}\,y\bigr) = t\,e^{t^{2}}.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^{-\sin t}\,y = \int t\,e^{t^{2}}\,dt = \frac{1}{2}\,e^{t^{2}} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos
y = e^{\sin t}\Bigl(\tfrac12\,e^{t^{2}} + C\Bigr) = \tfrac12\,e^{\,t^{2}+\sin t} + C\,e^{\sin t}.
Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=2:
2 = \tfrac12\,e^{0+0} + C\,e^{0} = \tfrac12 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{3}{2}.

Resposta

\boxed{y(t) = \tfrac12\,e^{\,t^{2}+\sin t} + \tfrac{3}{2}\,e^{\sin t}.}

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