Seja
o espaço vetorial das funçōes diferenciáveis no intervalo
. Mostre que o conjunto das soluçōes da equação diferencial
onde
é uma funçāo contínua em
, é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto das soluções da equação diferencial
onde
é contínua em
, é um subespaço vetorial de
.
Para isso, basta verificar que esse conjunto é não-vazio e fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Para isso, basta verificar que esse conjunto é não-vazio e fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Defina
Queremos mostrar que
é subespaço de
, ou seja:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 3
Mostre que a função zero está em
.
Considere . Então
e
, logo
Considere
para todo
, ou seja,
. Assim
não é vazio.
Passo 4
Verifique o fechamento sob adição.
Tomando , temos para todo
:
Tomando
Portanto
.
Passo 5
Verifique o fechamento sob multiplicação escalar.
Se e
, então para todo
:
Se
Logo
.
Resposta
O conjunto das soluções de
satisfaz os três critérios de subespaço vetorial em
, logo é de fato um subespaço vetorial.