Seja C^{1}(a, b) o espaço vetorial das funçōes diferenciáveis no intervalo (a, b). Mostre que o conjunto das soluçōes da equação diferencial
y^{\prime}+p(x) y=0,
onde p é uma funçāo contínua em (a, b), é um subespaço vetorial de C^{1}(a, b).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto das soluções da equação diferencial
y'(x)+p(x)\,y(x)=0
onde p é contínua em (a,b), é um subespaço vetorial de C^{1}(a,b).
Para isso, basta verificar que esse conjunto é não-vazio e fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Defina
E = \bigl\{\,y\in C^{1}(a,b)\mid y'(x)+p(x)\,y(x)=0\text{ para todo }x\in(a,b)\bigr\}.
Queremos mostrar que E é subespaço de C^{1}(a,b), ou seja:
  1. E\neq\varnothing.
  2. Se y_{1},y_{2}\in E então y_{1}+y_{2}\in E.
  3. Se y\in E e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\,y\in E.

Passo 3

Mostre que a função zero está em E.
Considere y_{0}(x)=0. Então y_{0}'(x)=0 e p(x)\,y_{0}(x)=0, logo
y_{0}'(x)+p(x)\,y_{0}(x)=0+0=0
para todo x, ou seja, y_{0}\in E. Assim E não é vazio.

Passo 4

Verifique o fechamento sob adição.
Tomando y_{1},y_{2}\in E, temos para todo x\in(a,b):
\bigl(y_{1}+y_{2}\bigr)' + p(x)\,(y_{1}+y_{2}) = y_{1}'+y_{2}'+p(x)y_{1}+p(x)y_{2} = \bigl(y_{1}'+p(x)y_{1}\bigr)+\bigl(y_{2}'+p(x)y_{2}\bigr) =0+0=0.
Portanto y_{1}+y_{2}\in E.

Passo 5

Verifique o fechamento sob multiplicação escalar.
Se y\in E e \alpha\in\mathbb{R}, então para todo x:
(\alpha y)' + p(x)(\alpha y) = \alpha\,y' + \alpha\,p(x)y = \alpha\bigl(y' + p(x)y\bigr) = \alpha\cdot 0 = 0.
Logo \alpha\,y\in E.

Resposta

O conjunto das soluções de y'+p(x)y=0 satisfaz os três critérios de subespaço vetorial em C^{1}(a,b), logo é de fato um subespaço vetorial.

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