Determine as soluções das equações diferenciais lineares, usando o método dos fatores integrantes:
y^{\prime}-2 x y=x y(x)=C e^{x^{2}}-\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial a resolver (usando fatores integrantes) e pede a solução geral. As informações fornecidas são:
\text{Equação: }y' - 2x\,y = x.çã
Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral y(x) com constante arbitrária C.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui identificamos
p(x) = -2x,\qquad q(x)=x.
Vou usar o método do fator integrante: escolhemos um fator \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y. A razão é que
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y,
então precisamos que \mu' = \mu p(x), isto é \dfrac{\mu'}{\mu}=p(x).

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -2x\,dx\right).
Fazendo a integral,
\int -2x\,dx = -x^{2},
portanto
\mu(x)=e^{-x^{2}}.
Obs.: constantes aditivas na integral geram fatores constantes multiplicativos em \mu, que podem ser absorvidos na constante de integração final, por isso podemos tomar \mu=e^{-x^{2}} sem perda.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x^{2}}:
e^{-x^{2}}y' - 2x e^{-x^{2}}y = x e^{-x^{2}}.
Verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{-x^{2}}y, pois
\bigl(e^{-x^{2}}y\bigr)' = e^{-x^{2}}y' + (e^{-x^{2}})'\,y = e^{-x^{2}}y' -2x e^{-x^{2}}y.
Logo podemos escrever a equação como
\bigl(e^{-x^{2}}y\bigr)' = x e^{-x^{2}}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{-x^{2}}y\bigr)'\,dx = \int x e^{-x^{2}}\,dx.
No lado esquerdo a integral da derivada retorna o produto:
e^{-x^{2}}y = \int x e^{-x^{2}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Calculamos a integral do lado direito. Façamos a substituição simples
u=-x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Assim
\int x e^{-x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du = -\tfrac{1}{2}e^{u} + C_1 = -\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}} + C_1.
Substituindo (absorvendo constantes numa única C) obtemos
e^{-x^{2}}y = -\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}} + C.

Passo 7

Isolamos y multiplicando por e^{x^{2}}:
y = -\tfrac{1}{2} + C e^{x^{2}},
onde C é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral da equação dada.

Passo 8

(Faça uma checagem rápida para se sentir seguro na prova.) Derivando a solução obtida:
y' = 0 + C\cdot 2x e^{x^{2}} = 2x C e^{x^{2}}.
Então
y' - 2x y = 2x C e^{x^{2}} - 2x\bigl(C e^{x^{2}} - \tfrac{1}{2}\bigr) = x,
o que confirma que a solução encontrada está correta. Força aí, você consegue!

Resposta

y(x)=C e^{x^{2}}-\dfrac{1}{2}

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