Determine as soluções das equações diferenciais lineares, usando o método dos fatores integrantes:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial a resolver (usando fatores integrantes) e pede a solução geral. As informações fornecidas são:
Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral
com constante arbitrária
.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
Aqui identificamos
Vou usar o método do fator integrante: escolhemos um fator
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. A razão é que
então precisamos que
, isto é
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
por
Fazendo a integral,
portanto
Obs.: constantes aditivas na integral geram fatores constantes multiplicativos em
, que podem ser absorvidos na constante de integração final, por isso podemos tomar
sem perda.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
Logo podemos escrever a equação como
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral da derivada retorna o produto:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calculamos a integral do lado direito. Façamos a substituição simples
Assim
Substituindo (absorvendo constantes numa única
) obtemos
Passo 7
Isolamos
multiplicando por
:
onde
é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral da equação dada.
Passo 8
(Faça uma checagem rápida para se sentir seguro na prova.) Derivando a solução obtida:
Então
o que confirma que a solução encontrada está correta. Força aí, você consegue!