Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias lineares a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária linear
. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais, onde queremos encontrar uma função
que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e integrar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em algo mais fácil de integrar.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, usamos a integração por partes.
Passo 6
Aplicando a integração por partes no lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, colocamos tudo junto:
Para achar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.