Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias lineares a seguir:
y^prime=3 y+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária linear y' = 3y + x . Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais, onde queremos encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e integrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' - 3y = x
Aqui, identificamos que P(x) = -3 e Q(x) = x .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx = e^integral -3 , dx = e^-3x
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em algo mais fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela mu(x) :
e^-3x y' - 3e^-3x y = x e^-3x
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) y . Ou seja:
ddx (e^-3x y) = x e^-3x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx (e^-3x y) , dx = integral x e^-3x , dx
O lado esquerdo simplifica para e^-3x y . Para o lado direito, usamos a integração por partes.

Passo 6

Aplicando a integração por partes no lado direito:
integral x e^-3x , dx = -13x e^-3x + 19e^-3x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, colocamos tudo junto:
e^-3x y = -13x e^-3x + 19e^-3x + C
Para achar y , multiplicamos ambos os lados por e^3x :
y = -13x + 19 + C e^3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = -13x + 19 + C e^3x
onde C é uma constante qualquer.

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