Utilize coordenadas cilíndricas
integralegral triplaE(9-x^2-y^2) d V, onde E é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 9, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando coordenadas cilíndricas! A ideia aqui é calcular a integral tripla integral triplaE(9 - x^2 - y^2) dV, onde E é o hemisfério sólido definido por x^2 + y^2 + z^2 <= 9 e z >= 0. Para isso, vamos precisar entender como funciona a troca para coordenadas cilíndricas e os limites de integração para esse tipo de região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, em vez de usarmos x, y e z, usamos r (a distância do ponto ao eixo z), theta (o ângulo em torno do eixo z) e z (a altura). As relações entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
Além disso, o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é dado por:
dV = r , dz , dr , dtheta

Passo 3

Vamos reescrever a função que está sendo integrada, 9 - x^2 - y^2, em coordenadas cilíndricas. Substituindo x e y:
9 - x^2 - y^2 = 9 - r^2
Então, a integral fica:
integral triplaE (9 - r^2) , r , dz , dr , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para r, theta e z. Como estamos lidando com um hemisfério de raio 3 ( raiz9):
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa ao redor do eixo z).
  • r varia de 0 a 3 (o raio do hemisfério).
  • Para cada r, z varia de 0 (base do hemisfério) até raiz9 - r^2 (a superfície do hemisfério).
Então, nossa integral fica:
integral0^2pi integral0^3 integral0^raiz9 - r^2 (9 - r^2) , r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^raiz9 - r^2 dz = raiz9 - r^2
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^3 (9 - r^2) , r , raiz9 - r^2 , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^2pi dtheta integral0^3 r (9 - r^2)^3/2 , dr
Agora, vamos resolver a integral em r usando uma substituição. Seja u = 9 - r^2, então du = -2r , dr ou r , dr = -du2. Quando r = 0, u = 9 e quando r = 3, u = 0.
Substituindo:
integral0^2pi dtheta integral9^0 u^3/2 (-du2) = integral0^2pi dtheta integral0^9 u^3/22 du
Resolvendo a integral em u:
integral0^9 u^3/22 du = 12 cdot 25 u^5/2 |0^9 = 15 cdot 243 = 2435
Agora, a integral fica:
integral0^2pi 2435 dtheta = 2435 cdot 2pi = 4865 pi

Resposta

O valor da integral tripla é 4865 pi.

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