Utilize coordenadas cilíndricas , onde é o hemisfério sólido .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando coordenadas cilíndricas! A ideia aqui é calcular a integral tripla , onde é o hemisfério sólido definido por e . Para isso, vamos precisar entender como funciona a troca para coordenadas cilíndricas e os limites de integração para esse tipo de região.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, em vez de usarmos , e , usamos (a distância do ponto ao eixo ), (o ângulo em torno do eixo ) e (a altura). As relações entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
Passo 3
Vamos reescrever a função que está sendo integrada, , em coordenadas cilíndricas. Substituindo e :
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para , e . Como estamos lidando com um hemisfério de raio 3 ():
varia de a (uma volta completa ao redor do eixo ).
varia de a (o raio do hemisfério).
Para cada , varia de (base do hemisfério) até (a superfície do hemisfério).
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Simplificando:
Agora, vamos resolver a integral em usando uma substituição. Seja , então ou . Quando , e quando , .
Substituindo:
Resolvendo a integral em :
Agora, a integral fica:
integral0^2pi 2435 dtheta = 2435 cdot 2pi = 4865 pi